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| Aufgabe | | Die von den Funktionen [mm] y=\wurzel{4x} [/mm] und [mm] y=\wurzel{2x+6} [/mm] begrenzte Fläche rotiert um die x-Achse. |
Hallo allerseits!
Meine Ansätze sind:
[mm] 0=\wurzel{4x}-\wurzel{2x+6}
[/mm]
x=3
[mm] \pi*\integral_{0}^{3}{4x-2\wurzel{4x}*\wurzel{2x+6}+2x+6dx}
[/mm]
Bei der Stammfunktion habe ich Schwierigkeiten!Könnte mir hier bitte jemand einen Tipp geben?Und zwar bei diesem Summanden:
[mm] 2\integral{\wurzel{4x}*\wurzel{2x+6}dx}
[/mm]
Ich hab in der Not eine Substitution ausprobiert:
[mm] 4*\wurzel{6}\integral{\wurzel{x}*\wurzel{\bruch{x}{3}+1}dx}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{3}=sinh^2(u)
[/mm]
dx=6sinh(u)cosh(u)
[mm] 72*\wurzel{2}*\integral{sinh^2(u)*cosh^2(u)du}
[/mm]
Hier stecke ich in einer Sackgasse, habe sowohl mit Substitution als auch mit partieller Integration versucht weiterzumachen es wird aber nur komplizierter....
Vielen Dank
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Mo 21.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Du verwndest eine falsche Formel zur Berechnung des Volumens.
zunächst ist [mm] \sqrt{4x} \le \sqrt{2x+6} [/mm] für x im Intervall [0,3].
Das gesuchte Volumen ist dann
[mm] \pi( \integral_{0}^{3}{(2x+6)dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{3}{4x dx})
[/mm]
FRED
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Danke für deine Hilfe Fred!
Ich komme aber leider immer noch nicht auf das im Buch angegebene Ergebniss [mm] 18\pi. [/mm] Was mache ich falsch?
[mm] \pi*[x^2+6x]_0^3-\pi*[2x^2]_0^3
[/mm]
[mm] 27\pi-18\pi=9\pi
[/mm]
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Mo 21.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Hast Du die Aufgabenstellung vollständig und korrekt widergegeben ?
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Mo 21.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hat völlig korrekt gerechnet, mir scheint die Musterlösung falsch zu sein.
Marius
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Hallo nochmal!
Ich glaube man muss zuerst die Nullstellen der beiden Funktionen berechnen.
Das ergibt das Integrationsintervall [-3/0], wenn man dann noch den Schnittpunkt berechnet [3]
Erhält man:
[mm] \pi[\integral_{-3}^{0}{2x+6dx}-\integral_{-3}^{0}{4xdx}+\integral_{0}^{3}{2x+6dx}-\integral_{0}^{3}{4xdx}]
[/mm]
So würde man auf [mm] 18\pi [/mm] kommen. Kann sein dass es so geht? In einem Beispiel im Buch wird es so gemacht.
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mo 21.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast Recht, wenn man sich die Skizze anschaut, hatten wir bisher den Teil links der -Achse "übersehen".
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also ist die Gesamtfläche:
[mm] A=\pi*\integral_{-3}^{3}\left(\wurzel{2x+6}\right)^{2}dx-\pi*\integral_{0}^{3}\left(\wurzel{4x}\right)^{2}dx
[/mm]
[mm] =\pi*\integral_{-3}^{3}2x+6dx-\pi*\integral_{0}^{3}4xdx
[/mm]
[mm] =\pi*\left(\left[x²+6x\right]_{-3}^{3}-\left[2x²\right]_{0}^{3}\right)
[/mm]
[mm] =\pi*\left((27-(-9))-(18-0)\right)
[/mm]
[mm] =18\pi
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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