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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Sa 28.02.2009 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Das Flächenstück, das vom Graphen der Funktion
f : R [mm] \to [/mm] R : x [mm] \mapsto \bruch{x² + x}{x² + 3}
[/mm]
und
seiner Tangente bei x = 1 eingeschlossen wird, rotiert um die xAchse. Berechne das
entstehende Volumen. |
meine Frage dazu
wie muss ich da vorgehen, wie geht das??
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Hallo csak,
na, es fängt doch erst mal mit einer gewöhnlichen Ebenen Aufgabe an: ermittle die genannte Tangente und mit ihr das gesuchte Flächenstück. Überleg Dir, mit welchen Integrationsgrenzen und Integranden Du seine Größe bestimmen könntest, tus aber nicht.
Für das Volumen brauchst Du ja ein anderes Integral. Das habt Ihr sicher in der Vorlesung gehabt (sonst wäre die Aufgabe ja nicht lösbar), aber Du findest es zur Erinnerung z.B. auch in ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Mach doch schon einmal die ersten Schritte, soweit Du kommst.
Das zu berechnende Integral wird nicht ganz einfach zu berechnen sein. Zwar gibt Dir Wolfram Integrator eine geschlossene Lösung, aber wie man auf sie kommt, ist dann noch herzuleiten.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Sa 28.02.2009 | | Autor: | csak1162 |
als tangente hab ich jetzt y = [mm] \bruch{1}{2}x
[/mm]
stimmt das oder hab ich da einen blödsinn gerechnet
aber wie komme ich jetzt auf das flächenstück??
danke
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 10:58 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo csak!
> als tangente hab ich jetzt y = [mm]\bruch{1}{2}x[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Für das gesuchte Volumen, würde ich nun die Differenzfunktion $d(x) \ = \ t(x)-f(x)$ im Intervall [mm] $\left[ \ 0 \ ; \ 1 \ \right]$ [/mm] um die x-Achse rotieren lassen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Sa 28.02.2009 | | Autor: | csak1162 |
wie komme ich auf das intervall [0,1] ?????
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Hallo, 0 und 1 sind die Schnittstellen der Funktion mit der Tangente, du bekommst sie durch Gleichsetzen von Funktion und Tangente
[mm] \bruch{x^{2}+x}{x^{2}+3}=\bruch{1}{2}x
[/mm]
die Schnittstelle x=1 steht ja sogar schon in der Aufgabenstellung
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 So 01.03.2009 | | Autor: | csak1162 |
was ist die differenzfunktion??
und wie lasse ich das jetzt rotieren??
brauche ich da die Formel V = [mm] \pi \integral_{a}^{b}{f(x)² dx}
[/mm]
weiß nicht wirklich weiter!
danke lg
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> was ist die differenzfunktion??
Hallo,
EDIT: ---
> und wie lasse ich das jetzt rotieren??
>
> brauche ich da die Formel V = [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)² dx}[/mm]
Ja. Berechne das Rotationsvolumen, welches sich bei Rotation der beiden Kurven ergibt, und subtrahiere die Volumina voneinader. (das ist ungefähr so, als würdest Du den Kern aus einer Avocado herausnehmen.
Gruß v. Angela
>
> weiß nicht wirklich weiter!
>
> danke lg
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:08 So 01.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Angela,
das mit der Differenzfunktion stimmt auch hier nicht, siehe meinen Hinweis zu Loddars Beitrag.
Liebe Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 01.03.2009 | | Autor: | csak1162 |
ist das die diffenenzfunktion??
d(x) = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] - [mm] \bruch{x² + x}{x² + 3}
[/mm]
$ [mm] \pi \integral_{a}^{b}{(\bruch{1}{2}x - \bruch{x² + x}{x² + 3})² dx} [/mm] $
wie soll ich das ausrechnen??? scheint mir relativ schwer!
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Hallo,
beachte meine zwischenzeitlich editierte Antwort bzw. die Hinweise auf Fehler.
Entschuldigung. Ich war vorschnell.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 So 01.03.2009 | | Autor: | csak1162 |
kein problem
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:07 So 01.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
da Angela den Hinweis gerade wieder aufnimmt, bemerke ich erst jetzt einen grundlegenden Fehler im Ansatz:
Die Differenzfunktion wäre hilfreich für die Bestimmung der eingeschlossenen Fläche t(x)-f(x) im Intervall [0,1].
Für das Rotationsvolumen ist allerdings der Abstand der rotierenden Fläche von der Rotationsachse (hier x-Achse) entscheidend, vgl. auch die Guldinsche Regel.
Es ist folgendes Integral zu lösen:
[mm] V=\pi*\int_0^1{t^2(x)-f^2(x)\ dx} [/mm]
wobei die Schreibweise [mm] f^2(x) [/mm] natürlich für [mm] (f(x))^2 [/mm] steht.
Anschaulich: bei einem Schnitt senkrecht zur x-Achse ist ein Kreisring zu sehen, der entsteht, indem aus einer Kreisscheibe mit dem Radius t(x) eine mit dem Radius f(x) herausgeschnitten wird. Ihre Fläche ist nicht identisch mit einer Kreisscheibe mit dem Radius (t(x)-f(x))!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 So 01.03.2009 | | Autor: | csak1162 |
ich habe jetzt
V = [mm] \pi \integral_{0}^{1}{\bruch{x²}{4} - \bruch{x^{4} + 2x^{3} + x²}{x^{4} + 6x² + 9}}
[/mm]
stimmt das jetzt und wie rechnet man das aus?? schaut kompliziert aus!
danke lg
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> ich habe jetzt
>
> V = [mm]\pi \integral_{0}^{1}{\bruch{x²}{4} - \bruch{x^{4} + 2x^{3} + x²}{x^{4} + 6x² + 9}}[/mm]
>
>
> stimmt das jetzt und wie rechnet man das aus?? schaut
> kompliziert aus!
>
Hallo,
[mm] \bruch{x²}{4} [/mm] bekommst Du mit Schulkenntnissen integriert.
Da in [mm] \bruch{x^{4} + 2x^{3} + x²}{x^{4} + 6x² + 9} [/mm] der Grad des Zählerpolynom [mm] \ge [/mm] dem Grad des Nennerpolynoms ist, führe zunächst eine Polynomdivision durch.
Dann behältst Du nur noch einen Ausdruck, der Sorgen macht. Bei diesem kommt dann eine Partialbruchzerlegung zum Zuge.
Gruß v. Angela
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