Volumen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Man berechne das folgende Volumen:
V {(x,y,z): [mm] z²\ge [/mm] (x-1/2)² +y², 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1-x/2}
Man berechne das Volumen
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\integral_{V}^{}{z dxdydz}}} [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Also der Einfachheit-halber habe ich mein Volumen normal berechnet und NICHT auf z, das aus dem Grund, da ich gerne kontrollieren möchte, ob das Volumen auch stimmt.
Also das ganze sieht folgendermaßen aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das rote ist der Kegel mit der Gleichung:
[mm] z²\ge [/mm] (x-1/2)² +y²
das blaue ist ein resultierender Zylinder, und zwar des gesuchte Volumen, das sich aus dem Schnitt der Ebene z [mm] \le [/mm] 1-x/2 (bei wie in der Formel zu erkennen, z kleiner als die Ebene ist - also liegt das Volumen unterhalb) mit dem Kegel ergiebt, bei welchem z größer als die Gleichung ist, und somit das Volumen auserhalb des Kegels gesucht wird.
Der Kegel im Zylinder sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nur um es sich besser vorstellen zu können; und das gesuchte Volumen sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun mein Lösungsansatz war folgender: Ich suche mir eine Domäne auf der ich integrieren kann, das ist hier ganz klar der Kreis der sich aus der Projektion des Schnittes ,der Ebene mit dem Kegel ergiebt, auf die x-y Ebene ergiebt. Es handelt sich hierbei um einen Kreis mit Radius 1 und zentrum im Koordinaten-Ursprung.
Nun mein Lösungsweg war dann folgender:
V(z)= [mm] \integral_{\wurzel{(x-1/2)²+y²}}^{1-x/2}{1 dz}
[/mm]
Der 1er aus dem Grund, da ich einfach einmal auf das reale Volumen kommen will und nicht gleich die Projektion auf die Funktion z haben will.
dies erledigt setze ich für:
x= r*cos(t)
y=r*sin(t)
wobei t der Winkel und r der Radius für die Integration in Zylinder-Koordinaten ist, das Integral V(z) wird dann nocht mit der Jakobianischen Konstante "r" multipliziert.
Das ganze ergiebt eine relativ lange Formel, integriere ich dies für r zwischen 0 und 1 und für t zwischen 0 und 2PI ist das Ergebnis: 0,66077 (mit Derive integriert)
Nun, ich bin mir hierbei eben NICHT sicher, ob dieser Lösungsweg der Richtige ist.
Mir fällt hierzu noch ein zweiter Lösungsweg ein, den ich jedoch nicht im Stande bin durchzuführen:
Die Rotation eines mit einer Kathete auf der x-y Ebene liegenden Dreieckes um den Punkt x= +1/2 (Punkt in dem der Kegel mit der Spitze auf der x-y Ebene aufliegt). Die Hypotenuse des Dreieckes würde hierbei durch die Funktion der Steigung des Kegels beschrieben werden.
Wie man das aber macht, weiß ich nicht.
Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr meinen Lösungsweg auf seine Richtigkeit kontrollieren könntet - falls jemand eine Idee hat, wie man es mit Derive kontrollieren könnte, wäre auch sehr interessant, primär möchte ich jedoch wissen, ob mein Lösungsansatz der Richtige ist!
Danke schon im Vorraus
lg
Chris
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Das reale Volumen soll jedenfalls:
2,4806 VE betragen - habe ich mit einem Programm berechnen lassen und bin mir von der Richtigkeit des Ergebnisses überzeugt!
Aber mit dem Integral komme ich leider nicht auf das Ergebnis! Ich bitte um eure Hilfe, Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:23 So 13.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Das sieht alles schon recht gut aus. Jedoch fehlt eine Bedingung.
Und zwar folgt aus den beiden vorgegebenen, durch einsetzen von [mm] z\le 1-\bruch{x}{2} [/mm] in die andere, noch :
[mm] \bruch{3}{4}(1-x^2)\ge y^2
[/mm]
also [mm] \wurzel{\bruch{3}{4}(1-x^2)}\ge y\ge -\wurzel{\bruch{3}{4}(1-x^2)}
[/mm]
Es ist also kein Kreis, sondern eine Ellipse als Grundebene.
Außerdem geht aus deinen Beschreibungen nicht ganz hervor welchen Körper du berechnen möchtest. Sieht aus als wenn du den Blauen im 3 Bild meinst. Es ist aber der Rote im 2. Bild. Die Rechnung stimmt trotzdem.
(p.s. "V(z)" ist bei dir schlecht gewählt, da du dort ja noch kein Volumen erhälst.)
Ciao.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ach du Schande, da hast du natürlich Recht.
Gesucht ist das BLAUE Volumen im 3. Bild!
Hm, und wie soll ich dann am besten bei der Integration vorgehen?
lg
Dankesehr
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Im Allgemeinen berechnet man das Volumen so:
[mm] Volumen=\integral_{V}{dV}=\integral\integral\integral{1 dxdydz}
[/mm]
Bei runden Körpern ist es manchmal vom Vorteil wenn man das Koordinatensys. verändert und z.B. in Polarkoord. integriert [mm] (det(...)*\integral\integral\integral{1 d\phi dr dz})
[/mm]
Man muss also die Grenzen der Dimensionen bestimmen und dann die Integrale errechnen.
Wir haben also:
[mm] \wurzel{(x-1/2)²+y²}\le z\le [/mm] 1-x/2
[mm] -\wurzel{\bruch{3}{4}(1-x^2)}\le y\le \wurzel{\bruch{3}{4}(1-x^2)}
[/mm]
und aus den beiden folgt [mm] -1\le x\le [/mm] 1
d.h.
[mm] Volumen=\integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{\bruch{3}{4}(1-x^2)}}^{\wurzel{\bruch{3}{4}(1-x^2)}}\integral_{\wurzel{(x-1/2)²+y²}}^{1-x/2}{1 dzdydx} [/mm] (bzw. z dzdydx)
Du kannst natürlich wieder in Polarkoord. wechseln. Jedoch musst du dann die Transformationsmatrix an die Ellipse anpassen, wodurch du einen anderen Faktor erhälst.
[mm] x=\bruch{1}{2}, [/mm] y=0 ist doch die einzige Lösung für z=0, d.h. es muss die rote Figur im 2. Bild sein.
Ciao.
|
|
|
|
