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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Mi 23.03.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo ihr!
> Hab da mal gerade ein paar Fragen, weil der Prof das
> irgendwie so komisch aufgeschrieben hat. Also, es geht um
> das Volumen bei Abbildungen - jedenfalls würde ich es mal
> so nennen...
>
> Da haben wir einmal den Fall:
> [mm]\Psi(x)=Dx[/mm] mit D Diagonalmatrix und [mm]d_i>0,[/mm] dann haben wir
> einmal aufgeschrieben:
> [mm]\mu_n(\Psi(K))=det[/mm] D [mm]\mu_n(K),
[/mm]
> wobei er dann als Beispiel angibt: [mm]\mu_n(B_r(K))=r^n \mu_n(B_1(0))[/mm]
> ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich interpretiere das so: Das Volumen einer n-dimensionalen Kugel mit Radius r ist das [mm] $r^n\mathrm{-fache}$ [/mm] des Volumen einer Kugel mit Radius 1 (das ist sicher richtig!)
Begründung: Man betrachtet die zentrische Streckung mit Streckungsfaktor 1/r und Streckungszentrum gleich Koordinatenursprung. Das ist eine lineare Abbildung mit Diagonalmatrix diag(1/r,1/r,....,1/r) mit Determinante [mm] $(1/r)^n$. [/mm] Diese Streckung bildet eine Kugel mit Radius r auf eine Einheitskugel ab. Daher gilt [mm] $\mu_n(B_r(0))=\frac{1}{\det D}\mu_n(B_1(0))$ [/mm] oder wenn K irgendein Körper ist [mm] $\mu_n(K)=\frac{1}{\det D}\mu_n(\Psi(K))$ [/mm] was äquivalent zur oberen Formel ist.
mfG Moudi
>
> aber an anderer Stelle hatte er sich verbessert zu:
> [mm](\Psi_{*}\mu_n)=\bruch{1}{det D}\mu_n
[/mm]
> wobei [mm]\Psi_{*}[/mm] das
> Bildmaß ist mit [mm](\Psi_{*}\mu_n)(A)=\mu_n(\Psi^{-1}(A'))[/mm]
> (das sollte eigentlich "Psi-Mal" heißen...)
>
> das waren also die Diagonalmatrizen, nun haben wir noch
> Orthogonalmatrizen, also [mm]S\in[/mm] O(n):
> [mm](\Psi_{*}\mu_n)(B_r(x))=\mu_n(B_r(x))=r^n\mu_n(B_1(0))
[/mm]
>
> Ich wollte eigentlich nur kurz fragen, ob das im zweiten
> Fall wirklich so richtig ist, und was im ersten Fall
> gilt.
>
> Viele Grüße
> Bastiane
> ![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Hab da mal gerade ein paar Fragen, weil der Prof das
> irgendwie so komisch aufgeschrieben hat. Also, es geht um
> das Volumen bei Abbildungen - jedenfalls würde ich es mal
> so nennen...
>
> Da haben wir einmal den Fall:
> [mm]\Psi(x)=Dx[/mm] mit D Diagonalmatrix und [mm]d_i>0,[/mm] dann haben wir
> einmal aufgeschrieben:
> [mm]\mu_n(\Psi(K))=det[/mm] D [mm]\mu_n(K),[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wobei er dann als Beispiel angibt: [mm]\mu_n(B_r(K))=r^n \mu_n(B_1(0))[/mm]
>
Das hatte ich dir ja auf der Zugfahrt erklärt (und moudi hier im Forum).
> aber an anderer Stelle hatte er sich verbessert zu:
> [mm](\Psi_{*}\mu_n)=\bruch{1}{det D}\mu_n[/mm]
> wobei [mm]\Psi_{*}[/mm] das
> Bildmaß ist mit [mm](\Psi_{*}\mu_n)(A)=\mu_n(\Psi^{-1}(A'))[/mm]
> (das sollte eigentlich "Psi-Mal" heißen...)
(das war keine Verbesserung, das ist das gleiche, schließlich rechnet man hier [mm] $\mu_n(D^{-1}A')$ [/mm] aus und oben [mm] $\mu_n(DK)$, [/mm] und die Behauptung folgt aus [mm] $\det(D^{-1}) [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(D)}$) [/mm]
> das waren also die Diagonalmatrizen, nun haben wir noch
> Orthogonalmatrizen, also [mm]S\in[/mm] O(n):
> [mm](\Psi_{*}\mu_n)(B_r(x))=\mu_n(B_r(x))=r^n\mu_n(B_1(0))[/mm]
>
> Ich wollte eigentlich nur kurz fragen, ob das im zweiten
> Fall wirklich so richtig ist, und was im ersten Fall gilt.
Ja, im zweiten Fall gillt:
[mm] $(\Psi_{\*}\mu_n)(B_r(x)) [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(S)} \mu_n(B_r(x)) [/mm] = [mm] \mu_n(B_r(x))$,
[/mm]
da $S$ orthogonal ist und somit [mm] $\det(S)=1$ [/mm] gilt.
Liebe Grüße
Stefan
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