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Hallo ihr Lieben,
diesmal ist's leider ein bisschen mehr als sonst... ich muss also nochmal was fragen :S
Die Aufgabe:
Bezeichne C([a,b]):={ f:(a,b) [mm] \to \IR [/mm] , f,f' stetig auf [a,b] fortsetzbar }.
Weisen sie nach , dass (C([a,b]),d) mit der Metrik [mm] d(f,g):=max_{x \in [a,b]} [/mm] (|f(x)-g(x)|) für f,g [mm] \in [/mm] ([a,b]) nicht vollständig ist...
hierbei weiß ich leider nicht was mit (C([a,b]),d) gemeint ist? ist das ne abbildung?
zur vollständigkeit haben wir nur definiert, dass wenn jede chauchy-folge in einem Raum konvergiert, dass dieser dann vollständig sei.
Zu stetig fortsetzbar: ich hab das gegoogelt, weil wir das nicht hatten in der VL, es soll hierbei der grenzwert der einen funktion gleich dem gerzwert (wohl eher intervallende, oder?) sein. aber wie ist f denn fortsetzbar auf das intervall [a,b]? wäre der wert von f ganz "rechts" dann gleich a?
Irgendwie hab ich wohl bei der aufgabenstellung schon zuviele fragen, sodass ich nicht mal ne idee für ne lösung habe. Könnte mir jemand vielleicht mit der aufgabenstellung helfen??
LG und vielen dank
pythagora
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> hierbei weiß ich leider nicht was mit (C([a,b]),d) gemeint ist? ist das ne abbildung?
es ist ein metrischer Raum mit den Elementen C([a,b]) und der Metrik d.
Anderes (nicht-euklidisches) Beispiel wäre [mm] $(\IR^2, [/mm] p)$, wobei p die französische Eisenbahnmetrik ist (einfach googlen).
> Zu stetig fortsetzbar: ich hab das gegoogelt, weil wir das nicht hatten in der VL, es soll hierbei der grenzwert der einen funktion gleich dem gerzwert (wohl eher intervallende, oder?) sein.
Nein. Der Grenzwert findet im Bildbereich statt und hat nix mit dem Definitionsbereich zu tun. Sagen wir, wir sind auf [0,1],
[mm] $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}x=1$
[/mm]
Also kann ich die Funktion bei 0 stetig fortsetzen mit Funktionswert 1. Würde ich da das Intervallende 0 einsetzen, wäre das Resultat ja nicht stetig.
Zitat Wikipedia:
Gegeben sei eine Funktion und ein Häufungspunkt von .
Die Funktion heißt ''stetige Fortsetzung'' von (auf ), falls auf mit übereinstimmt und in stetig ist.
Hier:
D=(0,1)
[mm] $x_0=0$
[/mm]
[mm] $D\cup \{x_0\}=[0,1)$
[/mm]
anderes Intervallende analog.
ciao
Stefan
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Hallo,
ok, ich denke ich habe die Aufgabe jetzt besser verstanden. Dankeschön!
Meine Idee ist:
Wenn ich jetzt eine Folge in (C([a,b],d) habe, die zum beispiel gegen a [mm] \in [/mm] [a,b] konvergiert, dann wird diese duch f:(a,b) [mm] \to \IR [/mm] ja nicht mitabgebildet. Daher konvergiert sie nicht in C, wodurch (C([a,b],d) nicht vollständig wäre.
Geht das so? oder hab ich irgendwo einen riesigen Denkfehler gemacht?
LG
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Blech |
> Wenn ich jetzt eine Folge in (C([a,b],d) habe, die zum beispiel gegen $a [mm] \in [/mm] [a,b]$ konvergiert, dann wird diese duch $f:(a,b) [mm] \to\IR$ [/mm] ja nicht mitabgebildet. Daher konvergiert sie nicht in C, wodurch (C([a,b],d) nicht vollständig wäre.
Sorry, das ergibt für mich absolut keinen Sinn. Du scheinst a für zwei verschiedene Sachen herzunehmen, und was soll C sein? und was will mir "wird durch f nicht mitabgebildet" sagen? Wie wär's stattdessen einfach mit einem konkreten Gegenbeispiel?
ciao
Stefan
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ups,
C sollte (C[a,b],d),also der metrische Raum, sein.
meine idee war, dass ich auf eine folge komme, die nicht konvergiert, oder die außerhalb des metrischen raumes konvergiert, sodass (C[a,b],d) nicht vollständig ist. Die Metrik d ist ja definiert als d(f,g)=max(|f(x)-g(x)|) mit x [mm] \in [/mm] [a,b]. Für C ist vorgegeben C[a,b] :={f(a,b) [mm] \to \IR}, [/mm] also bildet f von (a,b) nach [mm] \IR [/mm] ab. und da ja hierbei a und b nicht im intervall (a,b) enthalten sind (-->"wird durch f nicht mitabgebildet"), dachte ich, dass wenn eine folge diese zum grenzwert hätte (also einen davon), dann wäre der Grenzwert nicht im metrischen Raum (C[a,b],d)...
Als Gegenbeispiel fällt mir nicht mehr ein, als dass der Grenzwert einer konvergenten Folge außerhalb des metrischen Raumes liegen müsste. Mehr handwerkszeug liefert mit mein skript auch nicht. Muss ich die stetige fortsetztbarkeit irgendwie benutzten mit einem Satz oder einer bestimmten Definition?
Momentan habe ich einfach keine Idee...
Lg
pythagora
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Hm. ich bin zwar am verzweifeln mit dieser aufgabe, aber ich probier's nochmal...vielleicht so:
ich habe eine folge [mm] f_n, [/mm] die für n [mm] \to \infty [/mm] gegen f konvergiert, also gilt [mm] max|f_n-f| \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty) [/mm] daher wäre [mm] f_n [/mm] Cauchy-Folge. wenn es jetzt ein [mm] g=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n [/mm] gibt in (C,d), dannwäre ja [mm] ||f_n-g||_\infty \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty) [/mm] nah der Definition der glm. konvergenz. ich wollte irgendwie zum widerspruch kommen, also zu sowas wie g=f [mm] \not\in [/mm] (C,d), aber das bekomme ich nicht hin. Dass f=g ist, weil der Grenzwert eindeutig ist, ist klar, aber wieso sollte es nicht in (C,d) liegen?
Kann mir jemand helfen?
Danke. LG pythagora
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Hallo pythagora,
einen allgeimeinen Widerspruch wirst du hier nur schwerlich konstruiert bekommen. Einfacher ist es sich ein (einfaches) Gegenbeispiel zu überlegen.
Welche (elementare) Funktion kennst du denn, die zwar stetig, aber nicht differenzierbar ist? Kriegst du sie an der entsprechenden "spitzen" Stelle irgendwie "abgerundet" ? Wann ist sie an der Stelle denn "rund" ?
Grüße,
Gono.
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Hallo Gono,
> einen allgeimeinen Widerspruch wirst du hier nur schwerlich
> konstruiert bekommen. Einfacher ist es sich ein (einfaches)
> Gegenbeispiel zu überlegen.
ok, schade
> Welche (elementare) Funktion kennst du denn, die zwar
> stetig, aber nicht differenzierbar ist? Kriegst du sie an
vielleicht die betrag-Funktion, also f:x [mm] \to [/mm] |x| ? die ist stetig, aber bei x=0 nicht diffbar, also insgesammt nicht diffbar..
> der entsprechenden "spitzen" Stelle irgendwie "abgerundet"
abgerundet? also etwas was so ähnlich ist, nur differenzierbar? vielleicht eine parabel, also [mm] x^2 [/mm] ?
> ? Wann ist sie an der Stelle denn "rund" ?
das verstehe ich nicht... kannst du das erklären, was du damit meinst?
Danke
pythagora
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Huhu,
> vielleicht die betrag-Funktion, also f:x $ [mm] \to [/mm] $ |x| ? die ist stetig, aber bei x=0 nicht diffbar, also insgesammt nicht diffbar..
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> abgerundet? also etwas was so ähnlich ist, nur differenzierbar? vielleicht eine parabel, also $ [mm] x^2 [/mm] $ ?
Wir nähern uns der Sache..... ich schreibe beide Funktionen mal ein bisschen anders:
$|x| = [mm] \begin{cases} -x & x\le 0 \\ x & x > 0 \end{cases} [/mm] $
[mm] $x^2 [/mm] = [mm] |x|^2 [/mm] = [mm] \begin{cases} (-x)^2 & x\le 0 \\ x^2 & x > 0 \end{cases}$
[/mm]
Was ist denn nun beispielsweise mit:
[mm] $|x|^{1,5} [/mm] = [mm] \begin{cases} (-x)^{1,5} & x\le 0 \\ x^{1,5} & x > 0 \end{cases}$
[/mm]
Reicht dir das als Idee? 
MFG,
Gono.
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Hey^^
>
> > vielleicht die betrag-Funktion, also f:x [mm]\to[/mm] |x| ? die ist
> stetig, aber bei x=0 nicht diffbar, also insgesammt nicht
> diffbar..
>
>
>
> > abgerundet? also etwas was so ähnlich ist, nur
> differenzierbar? vielleicht eine parabel, also [mm]x^2[/mm] ?
>
> Wir nähern uns der Sache..... ich schreibe beide
> Funktionen mal ein bisschen anders:
>
> [mm]|x| = \begin{cases} -x & x\le 0 \\ x & x > 0 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]x^2 = |x|^2 = \begin{cases} (-x)^2 & x\le 0 \\ x^2 & x > 0 \end{cases}[/mm]
ok, verstanden
> Was ist denn nun beispielsweise mit:
>
> [mm]|x|^{1,5} = \begin{cases} (-x)^{1,5} & x\le 0 \\ x^{1,5} & x > 0 \end{cases}[/mm]
wäre das dann die wurzel aus [mm] x^3 [/mm] ??
> Reicht dir das als Idee?
ich weiß leider nicht, was ich damit machen soll um dazu zu kommen, dass das nicht vollständlig ist. ich muss ja zeigen, dass es konvergiert, aber dass der grenzwert nicht in (C,d) ist, oder?? *verwirrt*
EDIT: Ah, du meinst, dass ich mit [mm] x^1,5 [/mm] immer näher an |x| ranrücke... (?) aber trotzdem weiß ich nicht wie ich auf die nicht vollständigkeit kommen soll
LG
pythagora
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Hiho,
erstmal stellen wir fest, dass [mm] |x|^{1,5} [/mm] wieder in [mm] C^1 [/mm] liegt (du vergisst übrigens immer das hoch 1, das ist wichtig!, warium?
Das weiß ich auch nur, weil ein Komolitone von dir hier auch wild rumpostet.).
Du solltest halt herausfinden, dass [mm] $|x|^\alpha \in C^1$ [/mm] für [mm] $\alpha [/mm] > 1$ aber [mm] $|x|^1$ [/mm] offensichtlich nicht.
Nun kannst du dir doch bestimmt eine Folge [mm] $f_n \to [/mm] f $ konstruieren mit [mm] $f_n \in C^1$ [/mm] aber $f [mm] \not\in C^1$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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Moin,
> erstmal stellen wir fest, dass [mm]|x|^{1,5}[/mm] wieder in [mm]C^1[/mm]
> liegt (du vergisst übrigens immer das hoch 1, das ist
> wichtig!, warium?
> Das weiß ich auch nur, weil ein Komolitone von dir hier
> auch wild rumpostet.).
ah ja, die 1, stimmt, das wollte ich auch schon fragen, weil ich das weder im skript noch im buch gefunden habe (ich dachte das wär ein druckfehler) was bedeutet das?
> Du solltest halt herausfinden, dass [mm]|x|^\alpha \in C^1[/mm] für
> [mm]\alpha > 1[/mm] aber [mm]|x|^1[/mm] offensichtlich nicht.
aha, ok
aber wie zeige ich das für alle [mm] \alpha [/mm] > 1 ?? induktiv ist ja nicht, weils nicht in [mm] \IN [/mm] ist...wie geht das sonst?
> Nun kannst du dir doch bestimmt eine Folge [mm]f_n \to f[/mm]
> konstruieren
? ich dachte ich könnte mit |x| was machen, vielleicht [mm] \bruch{1}{|x|^n} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty [/mm] ???
> mit [mm]f_n \in C^1[/mm] aber [mm]f \not\in C^1[/mm].
und genau hier hängt's wieder :(
wie zeige ich denn dass das nicht in [mm] C^1 [/mm] ist? hab ich dafür denn eine genaue Bedingung, damit ein element in [mm] C^1 [/mm] ist?
Lieb, dass du mir hilfst
pythagora
EDIT:
[mm] |x|^{1+\bruch{1}{n}} \to |x|^1 [/mm] (n [mm] \to \infty). [/mm] damit konvergiert die CF nicht in [mm] C^1 [/mm] und [mm] C^1 [/mm] ist damit nicht vollständig^^ oder?
jetzt muss ich aber noch zeigen, dass [mm] |x|^{1+\bruch{1}{n}} \in C^1 [/mm] und [mm] |x|^1 \not\in C^1 [/mm] ist -.- und da hab ich keine idee...
LG nochmals
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mi 04.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]|x|^{1+\bruch{1}{n}} \to |x|^1[/mm] (n [mm]\to \infty).[/mm] damit
> konvergiert die CF nicht in [mm]C^1[/mm] und [mm]C^1[/mm] ist damit nicht
> vollständig^^ oder?
> jetzt muss ich aber noch zeigen, dass [mm]|x|^{1+\bruch{1}{n}} \in C^1[/mm]
> und [mm]|x|^1 \not\in C^1[/mm] ist -.- und da hab ich keine
> idee...
Tipp: male dir [mm] $|x|^1$ [/mm] und z.B. [mm] $|x|^{1,1}$ [/mm] auf. Was passiert an der Stelle $x=0$ ? (Formal: stelle in beiden Fällen den Differenzenquotienten auf und überlege dir, warum der Grenzwert, also die Ableitung im einen Fall nicht existiert, im anderen aber doch.)
Viele Grüße
Rainer
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hallo,
(edit: unterm lim wird's irgendwie falsch angezeigt... anfangs st es x [mm] \to x_0 [/mm] danach h [mm] \to [/mm] 0)
ok für den differenzenquotienten habe ich ja:
[mm] \limes_{x\rightarrow \x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{h\rightarrow \0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
für [mm] f=|x|^{1,1}:
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{|x_0+h|^{1,1}-|x_0|^{1,1}}{h}=....da x_0=0....=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{|h|^{1,1}}{h}=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{|h|^{1}*|h|^{0,1}}{h}=\limes_{h\rightarrow\0}|h|^{0,1}=0
[/mm]
jetzt einmal mit [mm] f=|x|^1:
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{|x_0+h|-|x_0|}{h}=....da x_0=0....=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{|h|}{h}=1 [/mm]
wo hab ich mich da verrechnet?? das sollte doch nicht definiert sein??
LG
pythagora
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Huhu,
> jetzt einmal mit [mm]f=|x|^1:[/mm]
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{|x_0+h|-|x_0|}{h}=....da x_0=0....=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{|h|}{h}=1[/mm]
> wo hab ich mich da verrechnet?? das sollte doch nicht
> definiert sein??
Was ist denn [mm] \bruch{|h|}{h} [/mm] ? Das ist nicht immer 1
Mache eine Fallunterscheidung für h>0 und h<0
Was ist in jedem Fall |h| ?
MFG,
Gono.
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heeeyyy^^
> > jetzt einmal mit [mm]f=|x|^1:[/mm]
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{|x_0+h|-|x_0|}{h}=....da x_0=0....=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{|h|}{h}=1[/mm]
> > wo hab ich mich da verrechnet?? das sollte doch nicht
> > definiert sein??
>
> Was ist denn [mm]\bruch{|h|}{h}[/mm] ? Das ist nicht immer 1
> Mache eine Fallunterscheidung für h>0 und h<0
> Was ist in jedem Fall |h| ?
ah, ok , also |h| ist immer >0 und wenn
h>0, dann [mm] \bruch{|h|}{h} [/mm] >0 --> steigung =1
h<0, dann [mm] \bruch{|h|}{h} [/mm] <0 --> steigung =-1
??^^
aber ist das bei dem ersten fall dann nicht auch so, dass ich einmal eine positive und einmal eine negative steigung bekomme?
LG
pythagora
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Huhu,
die Steigung existiert doch genau dann, wenn rechtsseitiger GW gleich dem linksseitigen GW ist.
> ah, ok , also |h| ist immer >0 und wenn
> h>0, dann [mm]\bruch{|h|}{h}[/mm] >0 --> steigung =1
> h<0, dann [mm]\bruch{|h|}{h}[/mm] <0 --> steigung =-1
> ??^^
Nicht nur >0 oder <0, du kannst es doch direkt ausrechnen.
Schreib das doch mal bitte sauber und ausführlich hin.
1. Fall h > 0, dann [mm] $\bruch{|h|}{h} [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
> aber ist das bei dem ersten fall dann nicht auch so, dass
> ich einmal eine positive und einmal eine negative steigung
> bekomme?
Dann mach doch die Fallunterscheidung doch mal SAUBER auch im anderen Fall, auf was kommst du dann?
MFG,
Gono.
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Hallo,
> Nicht nur >0 oder <0, du kannst es doch direkt ausrechnen.
> Schreib das doch mal bitte sauber und ausführlich hin.
>
> 1. Fall h > 0, dann [mm]\bruch{|h|}{h} = \ldots[/mm]
1. Fall h > 0, dann [mm][mm] \bruch{|h|}{h}=1
[/mm]
2. Fall h < 0, dann [mm][mm] \bruch{|h|}{h}=-1
[/mm]
so?
> > aber ist das bei dem ersten fall dann nicht auch so, dass
> > ich einmal eine positive und einmal eine negative steigung
> > bekomme?
>
> Dann mach doch die Fallunterscheidung doch mal SAUBER auch
> im anderen Fall, auf was kommst du dann?
im anderen fall nehm ich mal [mm] |x|^2, [/mm] das schreibt sich besser;)
1. Fall h > 0, dann [mm][mm] \bruch{|h|^2}{h}=0
[/mm]
2. Fall h < 0, dann [mm][mm] \bruch{|h|^2}{h}=0
[/mm]
ahhhhh ok, und mit
"die Steigung existiert doch genau dann, wenn rechtsseitiger GW gleich dem linksseitigen GW ist." ist die sache natürlich gekärt.. sag mal, ist das schulwissen?? oder muss das ein satz aus der vl sein??
Und kannst du mir verraten, was das mit [mm] C^1 [/mm] auf sich hat?? Keiner meiner leute hat eine ahnung, was das sein soll, das haben wir alle gekonnt ignoriert ...
LG
pythagora
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Huhu,
> im anderen Fall, auf was kommst du dann?
> im anderen fall nehm ich mal [mm]|x|^2,[/mm] das schreibt sich besser;)
ok
> 1. Fall h > 0, dann [mm]\bruch{|h|^2}{h}=0[/mm]
Du hast wieder total unsauber aufgeschrieben!
Gewöhn dir doch einfach mal eine saubere Notation an, so vermeidest du selbst unheimlich viele Fehler.
Die Aussage: [mm] $\bruch{|h|^2}{h}=0$ [/mm] ist totaler Unfug, denn offensichtlich ist [mm] $\bruch{|h|^2}{h}= [/mm] h$ (übrigens unabhängig davon, ob h>0 oder h<0 gilt)
Aber ja, für [mm] $h\to [/mm] 0$ kommt da jeweils 0 raus.
> "die Steigung existiert doch genau dann, wenn rechtsseitiger GW gleich dem linksseitigen GW ist." ist die sache natürlich gekärt.. sag mal, ist das schulwissen?? oder muss das ein satz aus der vl sein??
Sowohl als auch.
Das ist ein Satz für "normale" Funktionsgrenzwerte:
[mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] f(x)$ existiert, wenn linksseitiger = rechtsseitiger GW.
Und ich weiß, dass ihr den hattet 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Mi 04.05.2011 | | Autor: | pythagora |
Hi,
ich danke dir, hast mir sehr geholfen!
hast du ne idee, was mit [mm] C^1 [/mm] gemeint sein könnte? also was die 1 "sein soll"??
Gute nacht.
pythagora
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
[mm] C^n(A) [/mm] ist die Menge aller der Funktionen, bei denen die n-te Ableitung auf A stetig ist, allgemein als "n mal stetig auf A differenzierbar" bezeichnet.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Do 05.05.2011 | | Autor: | pythagora |
danke.
pythagora
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