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Moin, hab heute in der Hauptschule versucht die folgende Aufgabe zu bearbeitet:
Es sei V:={f : [a,b] [mm] \to\IR [/mm] | stetig}. Auf dem Vektorraum wird die folgende Norm eingeführt:
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel _{1}:=\max_{a\le x\le b} [/mm] |f(x)| , f [mm] \in [/mm] V.
Zeigen Sie, dass V bezüglich der Norm [mm] \parallel. \parallel_1 [/mm] vollständig ist.
aber da ich nicht weiß was hier mit "Vollständigkeit eines Vektorraumes" gemeint ist, komm ich auch nicht weiter. Kann mir da jemand weiter helfen? Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Moin, hab heute in der Hauptschule versucht die folgende
> Aufgabe zu bearbeitet:
Sowas macht ihr in der Hauptschule?
> Es sei V:={f : [a,b] [mm] \to\IR [/mm] | stetig}. Auf dem Vektorraum
> wird die folgende Norm eingeführt:
>
> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel _{1}:=\max_{a\le x\le b}[/mm] |f(x)| , f
> [mm]\in[/mm] V.
>
> Zeigen Sie, dass V bezüglich der Norm [mm]\parallel. \parallel_1[/mm]
> vollständig ist.
>
> aber da ich nicht weiß was hier mit "Vollständigkeit eines
> Vektorraumes" gemeint ist, komm ich auch nicht weiter. Kann
> mir da jemand weiter helfen? Danke
Du hast zu zeigen, dass jede Cauchyfolge aus $V$ gegen ein Grenzelement, welches sich in $V$ befindet, konvergiert. Dabei betrachtest du die durch die Norm induzierte Metrik auf $V$:
[mm] $d(x,y):=\parallel [/mm] x-y [mm] \parallel_1$ ($\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] V$).
D.h. eine (Funktionen-)Folge [mm] $(f_k)_{k \in \IN} \in V^{\IN}$ [/mm] ist genau dann eine Cauchyfolge in $V$, wenn es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_{\varepsilon} \in \IN$ [/mm] gibt, so dass:
[mm] $d(f_n,\;f_m)=\parallel f_n [/mm] - [mm] f_m \parallel_1 [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ausfällt für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$.
Dir bleibt also zu zeigen:
Für jede Cauchy-(Funktionen-)Folge [mm] $(f_k)_{k \in \IN} \in V^{\IN}$ [/mm] gibt es eine Funktion $f [mm] \in [/mm] V$, so dass:
[mm] $f_k \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow}{f}$
[/mm]
(Wobei [mm] $f_k \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow}{f}$ [/mm] zu verstehen ist als:
[mm] $d(f_k,f)=\parallel f_k-f\parallel_1 \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] 0$ )
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 So 15.05.2005 | | Autor: | Swollocz |
Hi Marcel!
Du scheinst zu wissen, wovon du sprichst, aber wie kommst du auf $ [mm] d(x,y):=\parallel [/mm] x-y [mm] \parallel_1 [/mm] $ ? Ich bin einfach nur neugierig und einer von denen, die sich unter induzierten Metriken nichts vorstellen können.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Swollocz!
Könntet ihr beiden euren mathematischen Background mal ändern? Danke.
Dies ist ein grundsätzliches Phänomen. Ist [mm] $\Vert \cdot \Vert$ [/mm] eine Norm auf einem Vektorraum $V$, dann wird gemäß
[mm] $d(x,y):=\Vert [/mm] x- y [mm] \Vert$
[/mm]
eine Metrik auf $V$ induziert. Versuche doch mal selber nachzuweisen, dass $d$ eine Metrik ist!
Das ist relativ einfach. 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Swollocz |
achso, wenn es einfach so ist, alles klar, weiß ich bescheid.
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Moin,
Wie soll man zeigen, dass [mm] f_{k} [/mm] eine Cauchy-Folge bildet? Man weiß von [mm] f_{k} [/mm] nur, dass die einzelnen Funktionen stetig sind.
Danke und Gruß
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:27 Fr 20.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wie soll man zeigen, dass [mm]f_{k}[/mm] eine Cauchy-Folge bildet?
> Man weiß von [mm]f_{k}[/mm] nur, dass die einzelnen Funktionen
> stetig sind.
Das ist auch eine Vorraussetzung.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Sa 21.05.2005 | | Autor: | AndyRo |
Hi, die Norm in deiner Aufgabenstellung ist nicht die Norm 1.
Die Supremumsnorm wird i.d.R. mit Norm-Unendlich gekennzeichnet.
MfG
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