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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k(k^2 [/mm] +1) = [mm] \bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n}{4} [/mm] |
Also den Induktionsanfang hab ich folgendermaßen:
zu zeigen, dass für n=1 gilt
[mm] \summe_{k=1}^{n} k(k^2+1) [/mm] = [mm] \bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n}{4}
[/mm]
linke Seite: [mm] \summe_{k=1}^{1} 1(1^2 [/mm] +1) = 2
rechte Seite: [mm] \bruch{1^4 + 2*(1^3) + 3*(1^2) + 2}{4} [/mm] = 2
[mm] \Rightarrow [/mm] für n=1 gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k(k^2+1) [/mm] = [mm] \bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n}{4}
[/mm]
So jetzt zur Induktionsbehauptung:
zu zeigen:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k(k^2 [/mm] +1) = [mm] \bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n +(n+1)}{4+(n+1)}
[/mm]
Hier bin ich mir aber nicht sicher, auf der rechten Seite, ob da das (n+1) richtig steht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mo 12.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Beweisen Sie, dass für n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k(k^2[/mm] +1) = [mm]\bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n}{4}[/mm]
>
> Also den Induktionsanfang hab ich folgendermaßen:
> zu zeigen, dass für n=1 gilt
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k(k^2+1)[/mm] = [mm]\bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n}{4}[/mm]
>
> linke Seite: [mm]\summe_{k=1}^{1} 1(1^2[/mm] +1) = 2
> rechte Seite: [mm]\bruch{1^4 + 2*(1^3) + 3*(1^2) + 2}{4}[/mm] = 2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] für n=1 gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k(k^2+1)[/mm] = [mm]\bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n}{4}[/mm]
Hier meinst du wohl für n> 1 gilt:...
> So jetzt zur Induktionsbehauptung:
> zu zeigen:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k(k^2[/mm] +1) = [mm]\bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n +(n+1)}{4+(n+1)}[/mm]
Das ist falsch. Du musst einfach n= n+1 setzen. Also musst du folgendes zeigen:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k(k^2+1) [/mm] = [mm] \frac{(n+1)^4+2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 2(n+1)}{4}$
[/mm]
Viel Spaß!
> Hier bin ich mir aber nicht sicher, auf der rechten Seite,
> ob da das (n+1) richtig steht.
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Ok und das zerlege ich ja jetzt in
[mm] \summe_{k=1}^{n}k(k²+1) [/mm] + (n+1) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Mo 12.11.2012 | | Autor: | teo |
> Ok und das zerlege ich ja jetzt in
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k(k²+1)[/mm] + (n+1) ?
Hä? Wieso? Nein!
Du hast beim Induktionsanfang einfach 1 für k eingesetzt. Also setze jetzt (n+1) ein!
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k(k^2+1) [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^4 + 2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 2(n+1)}{4} [/mm] |
ich hab doch am anfang 1 für k eingesetzt.
naja und nun hab ich obiges zu beweisen?
bloß ist doch k immer noch 1, muss ich da für k 1 einsetzen links?
so ganz blick ich es noch nicht.
Wir haben das sonst immer zerlegt... wie z.B. bei
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^3 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}k^3 [/mm] + [mm] (n+1)^3
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Thomas000 |
Hab grad ma geschaut, is es vielleicht so richtig?
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k(k^2+1) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}k(k^2+1) [/mm] + [mm] (n+1)((n+1)^2+1)
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mo 12.11.2012 | | Autor: | teo |
Genau so!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Thomas000 |
weiter gehts ja dann, dass für [mm] \summe_{k=1}^{n}k(k^2+1) [/mm] ich lau Ind.voraussetzung [mm] \bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n}{4} [/mm] einsetze und wenn ich beides auf einen Nenner bringen will hab ich folgendes:
[mm] \bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 4*((n+1)((n+1)^2+1))}{4}
[/mm]
und das ganze Ding muss ich jetz i.wie nach [mm] \bruch{(n+1)^2 + 2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 2(n+1)}{4} [/mm] umbasteln?!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Mo 12.11.2012 | | Autor: | teo |
> weiter gehts ja dann, dass für [mm]\summe_{k=1}^{n}k(k^2+1)[/mm]
> ich lau Ind.voraussetzung [mm]\bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n}{4}[/mm]
> einsetze und wenn ich beides auf einen Nenner bringen will
> hab ich folgendes:
>
> [mm]\bruch{n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 4*((n+1)((n+1)^2+1))}{4}[/mm]
>
> und das ganze Ding muss ich jetz i.wie nach [mm]\bruch{(n+1)^4 + 2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 2(n+1)}{4}[/mm]
> umbasteln?!
Genau. Einfach ausmultiplizieren. Und bei Induktion meistens sinnvoll auch die rechte Seite bzw. das Ergebnis (wo du hinwillst) mal ausmultiplizieren. Dann sieht man recht schnell wies geht! Hinterher kann mans dann ja immer noch schön der Reihe nach aufschreiben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Thomas000 |
Gott sei Dank, nach vielen Rechnereien hab ichs hinbekommen. Ausmultiplizieren von solchen Termen is ganz schön heftig. =)
Ich würde gleich noch eine Frage in der selben Diskussion stellen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Mo 12.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
eigentlich ist das überhaupt nicht heftig! Schau dir mal das Pascalsche Dreieck an ![[]](/images/popup.gif) hier
Grüße
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Hallo Thomas000,
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k(k^2+1)[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)^4 + 2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 2(n+1)}{4}[/mm]
>
> ich hab doch am anfang 1 für k eingesetzt.
Nein, du hast [mm]n=1[/mm] gesetzt im Induktionsanfang, du hattest also linkerhand [mm]\sum\limits_{k=1}^1k(k^2+1)[/mm], was ausgeschrieben [mm]=1\cdot{}(1^2+1)=1\cdot{}2=2[/mm] ist.
Rechterhand hast du mit [mm]n=1[/mm]: [mm]\frac{1^4+2\cdot{}2^3+3\cdot{}1^2+2\cdot{}1}{4}=\frac{8}{4}=2[/mm]
Das passt also
> naja und nun hab ich obiges zu beweisen?
> bloß ist doch k immer noch 1, muss ich da für k 1
> einsetzen links?
> so ganz blick ich es noch nicht.
> Wir haben das sonst immer zerlegt... wie z.B. bei
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}k^3[/mm] + [mm](n+1)^3[/mm]
Jo, das musst du hier auch machen!
Du hast als IV: Für [mm]n\in\IN[/mm] gelte [mm]\red{\sum\limits_{k=1}^nk(k^2+1)=\frac{n^4+2n^3+3n^2+2n}{4}}[/mm]
Zu zeigen ist, dass dies unter der IV auch für [mm]n+1[/mm] gilt, dass also gilt:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k(k^2+1)=\frac{(n+1)^4+2(n+1)^3+3(n+1)^2+2(n+1)}{4}[/mm] (*)
Dazu nimmst du dir die linke Seite von (*) her, zerlegst sie so, dass du die rote IV einbauen kannst und formst weiter um, bis die rechte Seite von (*) dasteht.
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k(k^2+1) \ = \ \red{\left( \ \sum\limits_{k=1}^nk(k^2+1) \ \right)} \ + \ (n+1)((n+1)^2+1)[/mm]
Im letzten nicht roten Summanden habe ich einfach den letzten Summanden der Summe, also den für [mm]k=n+1[/mm], separat aufgeschrieben.
Nun kannst du auf den roten Term die IV anwenden ....
Gruß
schachuzipus
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