Vollständiger Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Do 08.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | | [mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1+\bruch{1}{k})^{k} [/mm] = [mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 2. |
Bisher: Induktionsanfangs: [mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+1)^1 [/mm] = 1. Das Stimmt.
Zu zeigen ist: [mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^{k} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
Dazu der Beweis: [mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^{k} [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] + [mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1+\bruch{1}{k})^{k}
[/mm]
Meine Frage dazu ist ob der Ansatz in die richtige Richtung geht, da ich bei der vorherigen Teilaufgabe, wo es um die geometrische Reihe ging, unzählige male falsch angesetzt habe. In der Regel weil ich das k und das n nicht unter einen Hut bringen konnte.
Unter der Annahme, dass ich es verstanden habe, hab ich folgendes gemacht:
Aus der Induktionsvoraussetzung folgt: (1 + [mm] \bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{n^n}{n!}. [/mm]
Jetzt hab ich meine algebraischen Muskeln spielen lassen, die leider nicht so trainiert sind. Mein erster Schritt hier ist beide Ausdrücke auf einen gleichen Nenner zu bringen um sie näher zu rücken.
[mm] \bruch{(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}*n! + n^{n}}{n!}
[/mm]
Aber schon hier Frage ich mich wie hieraus [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] folgen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Do 08.11.2012 | | Autor: | chrisno |
> [mm]\produkt_{k=1}^{n-1}(1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm] = [mm]\bruch{n^n}{n!}[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] 2.
>
> Bisher: Induktionsanfangs: [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+1)^1[/mm] = 1.
> Das Stimmt.
gar nicht. Wieso geht das Produkt nun bis n? Wieso ist 2 = 1 richtig?
> Zu zeigen ist: [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
ja
>
> Dazu der Beweis: [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm] =
> (1 + [mm]\bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm] +
> [mm]\produkt_{k=1}^{n-1}(1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm]
Wie kommst Du zu dem "+"? das ist ein Produkt. Oder hast Du das falsche Symbol erwischt? Warum steht in dem herausgezogenen Term "n+1" ?
Nachdem Du diese Punkte alle in Ordnung gebracht hast, steht praktisch alles fertig da. Du musst nur noch die Voraussetzung einsetzen und mit (n+1) erweitern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Do 08.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Natürlich 2=2.. kleiner Schreibfehler. Das Produkt geht nun bis 1 da aus n = 2 folgt 2 - 1 = 1..
Und natürlich ist das + der gravierende Fehler... ich Idiot hab vollkommen vergessen das ich es nicht mehr mit einem Sigma zu tun hab.
Dementsprechend komm ich auf [mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^{k} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] * [mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1+\bruch{1}{k})^{k}
[/mm]
= [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{n^{n}}{n!}
[/mm]
n + 1 deshalb weil es ebenfalls für die nächstgrößere natürliche Zahl gelten muss, sowie alle darauf folgenden.
Folgt nicht aus n -1 für n+1 = n als die darauf folgende? Vielleicht würde es mir helfen zu wissen was diese Formel überhaupt darstellt. Bei der geometrischen Reihe wusste ich ja zumindest das es die "geometrische Reihe" ist und hab mich darüber informiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Do 08.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Natürlich 2=2.. kleiner Schreibfehler. Das Produkt geht
> nun bis 1 da aus n = 2 folgt 2 - 1 = 1..
> Und natürlich ist das + der gravierende Fehler... ich
> Idiot hab vollkommen vergessen das ich es nicht mehr mit
> einem Sigma zu tun hab.
>
> Dementsprechend komm ich auf
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm] * [mm]\produkt_{k=1}^{n-1}(1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm]
Ich komme dagegen auf:
[mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] * [mm]\produkt_{k=1}^{n-1}(1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm]
Setze die Gleichungskette fort, wobei Du im nächsten Schritt nach der Induktionsvoraussetzung das Produkt ersetzt.
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Do 08.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\produkt_{k=1}^{n-1}(1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm] = [mm]\bruch{n^n}{n!}[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2.
soll die Aufgabe unbedingt mit vollst. Ind. gelöst werden? Sie ist
nämlich quasi banal:
$$\produkt_{k=1}^{n-1}(1+\bruch{1}{k})^{k}=\frac{\produkt_{k=1}^{n-1}(k+1)^{k+1}}{\produkt_{k=1}^{n-1}(k^k*(k+1))}=\frac{\produkt_{k=1}^{n-1}(k+1)^{k+1}}{\produkt_{k=1}^{n-1}k^k}*\frac{1}{\produkt_{k=1}^{n-1}(k+1)}}$$
Wenn man sich nun den Bruch linkerhand anguckt, so ist das sowas
analoges zu 'ner Ziehharmonikasumme. Wenn Du es nicht siehst:
Substituiere mal bei $\produkt_{k=1}^{n-1}(k+1)^{k+1}$ einfach
$\ell=k+1$ - und beachte, dass dann $k\,$ genau dann die Zahlen von
$1\,$ bis $n-1$ durchläuft, wenn $\ell$ die von $2\,$ bis $n\,$ durchläuft!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Do 08.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Sowas wie ne Ziehharmonikasumme hab ich noch nie gehört oder gesehn, oder vielleicht gesehn aber nicht gewusst, dass es eine ist. Das is aber eine gute Idee. Ich zeichne mir einfach mal ein kleinen Abschnitt vom Verlauf so wie bei der geometrischen Reihe. Den Induktionsbeweis sollte ich jetzt auch hinkriegen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Do 08.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sowas wie ne Ziehharmonikasumme hab ich noch nie gehört
> oder gesehn, oder vielleicht gesehn aber nicht gewusst,
> dass es eine ist. Das is aber eine gute Idee. Ich zeichne
> mir einfach mal ein kleinen Abschnitt vom Verlauf so wie
> bei der geometrischen Reihe.
das kapiere ich nicht, was Du mir da sagen willst.
> Den Induktionsbeweis sollte
> ich jetzt auch hinkriegen.
Ziehharmonikasumme (bspw.):
[mm] $$\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_1$$
[/mm]
Beweis?
Hier etwas "analoges":
[mm] $$\prod_{k=1}^n\frac{a_{k+1}}{a_k}=a_{n+1}/a_1$$
[/mm]
Beweis?
Gruß,
Marcel
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