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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Idale |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1) (2n+1)}{6} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann jemand mal checken, ob ich die Aufgabe formal richtig gelöst habe, bin mir nämlich an manchen Stellen nicht sicher?
Induktionsanfang: n sei 1
[mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm] = [mm] \bruch{1(1+1) (2*1+1)}{6}
[/mm]
1 = [mm] \bruch{6}{6} [/mm] = 1
Induktionsbehauptung: n sei (auch) n +1
[mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm] = [mm] \bruch{n+1(n+1+1) (2(n+1)+1)}{6}
[/mm]
1 = [mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm] = [mm] \bruch{n+1(n+2) (2n+3)}{6}
[/mm]
1 = [mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm] = [mm] \bruch{2n³+7n²+10n+6}{6} [/mm] | *6, -6
0 = 2n³ + 7n² + 10n
0 = n(2n² + 7n +10)
Soweit richtig? Wenn ja, welchen Schluss darf ich jetzt daraus ziehen? Darf ich n gleich 0 setzen, um die Behauptung zu belegen (0=0)?
Danke
MFG
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Also bis zum Induktionsanfang ist alles richtig, danach ist es ziemlich konfus 
Also, beim Schritt von n -> n+1 gehst du wie folgt vor:
Du musst zeigen, daß
[mm]\summe_{i=1}^{n+1}i^2 = \bruch{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}[/mm] ist, unter der Vorraussetzung, daß [mm]\summe_{i=1}^{n}i^2 = \bruch{(n)(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] gilt.
Am besten ist es also, du fängst mit [mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^2 [/mm] an und formst das solange um, bis du die rechte Seite dastehen hast, also:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1}i^2 = ... = \bruch{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}[/mm]
Ziwschendrin musst du natürlich irgendwann die Induktionsannahme / -voraussetzung benutzen.
Tip bei Summen: letztes Glied abspalten, Induktionsannahme benutzen, umformen, fertig.
Klappt fast immer 
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Idale |
Danke, aber was meinst du konkret mit letztes Glied abspalten (ist bestimmt eine idioten Frage, sorry)?
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Xa3r0 |
Das letzte Glied in deiner Summe wäre, dass du für i (n+1) einsetzt, also [mm] (n+1)^2.
[/mm]
Bei Summen klappt es eigentlich fast immer, dass du die Gleichung folgendermaßen aufstellst:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1}i^2[/mm]= Induktionsvoraussetzung + letztes Glied
Wenn du das dann umformst kommst du, wie gesagt fast immer, zu der Induktionsbehauptung.
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