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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 So 24.02.2013 | | Autor: | Labrinth |
| Aufgabe | Für eine Aussage $A(n)$, die für [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] erklärt sei, betrachte man folgende Bedingungen:
(i) A(0) ist wahr
(ii) Für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] gilt: Ist $A(n)$ wahr, so auch $A(n+1)$
(iii) Für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] gilt: Ist $A(i)$ für alle [mm] $i\in\mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $i\le [/mm] n$ wahr, so auch $A(n+1)$.
Man zeige mittels eines formalen Schlusses, dass das Induktionsprinzip, welches die Bedingungen (i) und (ii) umfasst äquivalent zu demjenigen, das die Bedingungen (i) und (iii) umfasst. |
Guten Tag!
Ich hatte schon einmal eine ähnliche Aufgabe, man sollte einfach mit Induktionsprinzip zeigen, dass [mm] (i)\wedge(iii)\implies{}A(n)\forall{}n. [/mm] Dazu konnte man setzen [mm] $M:=\{n\in\mathbb{N}:\neg A(n)\}$ [/mm] und annehmen, dass [mm] $M\not=\emptyset$. [/mm] Mit [mm] $m:=\min [/mm] M$ hat man dann [mm] $A(n)\forall [/mm] n<m$. Mit (iii) folgt dann $A(m)$ im Widerspruch zur Annahme.
Ganz ähnlich ist das hier ja wahrscheinlich auch. Aber ich komme mit der Formulierung nicht klar. Wäre das hier jetzt die Hin- oder die Rückrichtung gewesen?
Beste Grüße,
Labrinth
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> Für eine Aussage [mm]A(n)[/mm], die für [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] erklärt
> sei, betrachte man folgende Bedingungen:
> (i) A(0) ist wahr
> (ii) Für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] gilt: Ist [mm]A(n)[/mm] wahr, so auch
> [mm]A(n+1)[/mm]
> (iii) Für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] gilt: Ist [mm]A(i)[/mm] für alle
> [mm]i\in\mathbb{N}[/mm] mit [mm]i\le n[/mm] wahr, so auch [mm]A(n+1)[/mm].
> Man zeige mittels eines formalen Schlusses, dass das
> Induktionsprinzip, welches die Bedingungen (i) und (ii)
> umfasst äquivalent zu demjenigen, das die Bedingungen (i)
> und (iii) umfasst.
> Guten Tag!
>
> Ich hatte schon einmal eine ähnliche Aufgabe, man sollte
> einfach mit Induktionsprinzip zeigen, dass
> [mm](i)\wedge(iii)\implies{}A(n)\forall{}n.[/mm] Dazu konnte man
> setzen [mm]M:=\{n\in\mathbb{N}:\neg A(n)\}[/mm] und annehmen, dass
> [mm]M\not=\emptyset[/mm]. Mit [mm]m:=\min M[/mm] hat man dann [mm]A(n)\forall n
> Mit (iii) folgt dann [mm]A(m)[/mm] im Widerspruch zur Annahme.
>
> Ganz ähnlich ist das hier ja wahrscheinlich auch. Aber ich
> komme mit der Formulierung nicht klar. Wäre das hier jetzt
> die Hin- oder die Rückrichtung gewesen?
>
> Beste Grüße,
> Labrinth
Hallo Labrinth,
Es ist nicht ganz leicht, einen Beweis zu formulieren,
ohne sich dabei ein Stück weit zu verheddern, denn weil
es um eine Aussage über alle natürlichen Zahlen geht,
braucht man ja für den Beweis selber das Prinzip der
vollständigen Induktion oder ein dazu gleichwertiges
Prinzip wie das der Existenz eines kleinsten Elementes
in jeder nichtleeren Teilmenge von [mm] \IN [/mm] !
LG , Al-Chw.
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