Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Do 03.05.2012 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollst¨andige Induktion:
[mm]1+2^3+...+n^3=\bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm] |
Hi, also das Prinzip der Vollständigen Induktion habe ich gut Verstanden und komme auch recht weit. Nur habe ich starke Defizite was das Umformen und Faktorisieren angeht.
Ich schreib mal wie weit ich gekommen bin:
1. Induktions Anfang:
A(1) Beweisen das wahr ist (n = 1)
[mm]\bruch{1^2(1+1)^2}{4}=1[/mm] korrekt
Zu Beweisen:
[mm]1+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\bruch{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}=\bruch{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/mm]
2. Induktionsschritt:
[mm]1+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\bruch{k^2(k+1)^2}{4}[/mm]+[mm](k+1)^3[/mm]
So nun muss ich die rechte Seite Umformen um den Beweis zu Erbringen. Das ist es was mir meistens Schwierigkeiten macht. Aber den Anfang schaffe ich noch:
[mm]\bruch{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3[/mm]
Gleichnamig machen:
[mm]\bruch{k^2(k+1)^2}{4}+\bruch{4(k+1)^3}{4}[/mm]
Zusammenfassen:
[mm]\bruch{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}[/mm]
So links siehts schon gut aus, durch das Kommutativgesetz bring ich den Faktor [mm] k^2 [/mm] eine Stelle nach Rechts:
[mm]\bruch{(k+1)^2*k^2+4(k+1)^3}{4}[/mm]
So und da hörts bei mir auf, ich kriegs nicht gebacken den Term rechts gescheit umzuformen um das selbe zu bekommen.
Laut Lösung gehts so weiter:
[mm]\bruch{(k+1)^2*[k^2+4(k+1)]}{4}[/mm]
So wo ist denn aber das ^3 hin verschwunden?
Danach kann ich ja einfach Klammer auflösen und Binomische Formel anwenden. Das habe ich nachvollziehen können, worauf ich aber selbst nicht gekommen wäre.
Denke aber da hilft mir nix als die Auswendig zu lernen.
Es wäre aber schön wenn mir einer das Verschwinden von ^3 erklären könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Do 03.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Beweisen Sie durch vollst¨andige Induktion:
> [mm]1+2^3+...+n^3=\bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm]
> Hi, also das Prinzip der Vollständigen Induktion habe ich
> gut Verstanden und komme auch recht weit. Nur habe ich
> starke Defizite was das Umformen und Faktorisieren angeht.
> Ich schreib mal wie weit ich gekommen bin:
>
> 1. Induktions Anfang:
> A(1) Beweisen das wahr ist (n = 1)
> [mm]\bruch{1^2(1+1)^2}{4}=1[/mm] korrekt
>
> Zu Beweisen:
>
> [mm]1+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\bruch{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}=\bruch{(k+1)^2(k+2)^2}{4}[/mm]
>
immer mit n arbeiten. "Induktion über n" - oder aber vorher sagen: Induktion über "k"!
Nicht erst mit n und dann mit k arbeiten. Es gibt Leute, die ziehen für sowas schon mal Punkte ab.
> 2. Induktionsschritt:
> [mm]1+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\bruch{k^2(k+1)^2}{4}[/mm]+[mm](k+1)^3[/mm]
>
> So nun muss ich die rechte Seite Umformen um den Beweis zu
> Erbringen. Das ist es was mir meistens Schwierigkeiten
> macht. Aber den Anfang schaffe ich noch:
>
> [mm]\bruch{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3[/mm]
> Gleichnamig machen:
> [mm]\bruch{k^2(k+1)^2}{4}+\bruch{4(k+1)^3}{4}[/mm]
> Zusammenfassen:
> [mm]\bruch{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}[/mm]
> So links siehts schon gut aus, durch das Kommutativgesetz
> bring ich den Faktor [mm]k^2[/mm] eine Stelle nach Rechts:
> [mm]\bruch{(k+1)^2*k^2+4(k+1)^3}{4}[/mm]
>
> So und da hörts bei mir auf, ich kriegs nicht gebacken den
> Term rechts gescheit umzuformen um das selbe zu bekommen.
>
> Laut Lösung gehts so weiter:
> [mm]\bruch{(k+1)^2*[k^2+4(k+1)]}{4}[/mm]
>
> So wo ist denn aber das ^3 hin verschwunden?
Das ist nicht weg ;)
[mm]\bruch{(k+1)^2*k^2+4(k+1)^3}{4}=\bruch{(k+1)^2*k^2+4*(k+1)^2*(k+1)}{4}[/mm]
> Danach kann ich ja einfach Klammer auflösen und
> Binomische Formel anwenden. Das habe ich nachvollziehen
> können, worauf ich aber selbst nicht gekommen wäre.
> Denke aber da hilft mir nix als die Auswendig zu lernen.
Auswendig lernen - wozu? Das bringt nichts. Das kommt mit der Zeit, wenn du mehrere solcher Aufgaben gelöst hast. Und wenn man weiß, wo man hin will, dann muss man eben so lange umformen bis man am Ziel ist. Auswendig lernen bringt aber nichts. Was machst du denn dann, wenn eine andere Aufgabe dran kommt?
> Es wäre aber schön wenn mir einer das Verschwinden von ^3
> erklären könnte.
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 03.05.2012 | | Autor: | Vertax |
Danke dir, unser Prof hat das Angefangen mit erst n dann k. Von daher denke ich nicht das es ihn stören würde. Ich kenne das auch das man erst noch beweisen muss das n = k ist. Aber naja so hat ers uns heute beigebracht.
Mit Auswendig lernen habe ich die Binomischen Formeln gemeint.
Ah man zieht einfach ein (k+1) aus der Klammer. Aber wo ist es dann hin? Es taucht ja später nicht mehr auf, aber es muss ja irgendwo gelandet sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Do 03.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Danke dir, unser Prof hat das Angefangen mit erst n dann k.
> Von daher denke ich nicht das es ihn stören würde. Ich
> kenne das auch das man erst noch beweisen muss das n = k
man muss nicht beweisen, dass n=k, sondern man setzt k gleich n.
> ist. Aber naja so hat ers uns heute beigebracht.
nicht alles, was der Prof darf, darfst du auch ;)
>
> Mit Auswendig lernen habe ich die Binomischen Formeln
> gemeint.
Achso. Ja, die sollten schon sitzen. Brauchst du öfter.
>
> Ah man zieht einfach ein (k+1) aus der Klammer. Aber wo ist
> es dann hin? Es taucht ja später nicht mehr auf, aber es
> muss ja irgendwo gelandet sein.
[mm] \bruch{(k+1)^2\cdot{}k^2+4(k+1)^3}{4}=\bruch{(k+1)^2\cdot{}k^2+4\cdot{}(k+1)^2\cdot{}\red{(k+1)}}{4} =\bruch{(k+1)^2\cdot{}(k^2+4\cdot{}\red{(k+1)})}{4}=\bruch{(k+1)^2\cdot{}(k^2+4*\red{k}+4*\red{1})}{4}=...[/mm]
|
|
|
|
