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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man beweise folgende Ungleichung für beliebige x [mm] \in \IR, [/mm] x [mm] \ge0, [/mm] n [mm] \in \IN:
[/mm]
a) 1+nx [mm] \le (1+x)^{n}
[/mm]
b) [mm] \bruch{n*(n-1)}{2}*x^{2} \le (1+x)^{n}. [/mm] |
Hallo zusammen^^
Die a) habe ich schon bewiesen mit vollständiger Induktion.Bei der b) komme ich leider nicht mehr weiter.
IA:n=1: 0 [mm] \le [/mm] 1+x. Das gilt immer, da x eine positive Zahl ist.
IV: Beh. gilt für n.
IS: n --> n+1
zz: [mm] \bruch{(n+1)*(n+1-1)}{2}*x^{2} \le (1+x)^{n+1}, [/mm] d.h
[mm] \bruch{n*(n+1)}{2}*x^{2} \le (1+x)*(1+x)^{n}.
[/mm]
Jetzt ist nach IV [mm] (1+x)^{n} \ge \bruch{n*(n-1)}{2}*x^{2}.
[/mm]
Auf der linken Seite habe ich versucht den Term für n auszuklammern,da steht dann [mm] 0.5*(n+1)(n-1+1)*x^{2}=0.5*(n+1)*((n+1)x^{2}+x^{2}).Aber [/mm] weiter klappt das nicht so wirklich.
Ich hatte noch eine andere Idee. Unzwar hab ich in a) gezeigt, dass 1+nx [mm] \le (1+x)^{n}. [/mm] Dann habe ich versucht zu beweisen, dass 1+nx [mm] \ge \bruch{n*(n-1)}{2}*x^{2} [/mm] und habe in dem IS folgendes: [mm] \bruch{n}{2}*x^{2} \le \bruch{1}{n+1}*x. [/mm] Für den Fall x=0 gilt die Ungleichung. Nehmen wir also an x ist nicht =0.Dann habe ich durch x geteilt aber das ergibt keinen Sinn mehr.
Sind meine Ansätze brauchbar und hat jemand einen Tipp wie ich weitermachen kann?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
falsche Methode. Hier kommst Du mit vollständiger Induktion vor allem in Schwierigkeiten.
Ganz einfach aber ist hier der binomische Lehrsatz. Betrachte auf der rechten Seite mal den Summanden mit [mm] x^2. [/mm]
Und, klingelts?
Du wirst feststellen, dass Du auf der linken Seite sogar noch 1+nx dazuaddieren kannst und die Ungleichung immer noch stimmt. Bernoulli de luxe.
Grüße
reverend
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