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| Aufgabe | Es seien b, c [mm] \in \IR. [/mm] Eine Folge [mm] a_{n} [/mm] ist rekursiv durch
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] ba_{n} [/mm] + c, [mm] a_{0} \in \IR
[/mm]
definiert.
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für b [mm] \not= [/mm] gilt
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] b^{n}a_{0} [/mm] + [mm] \bruch{c}{1-b}(1-b^{n})
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0} [/mm] |
Hallo alle miteinander!
Zuerst mach ich doch einen Induktionsanfang, dafür nehme ich mal folgende Werte an:
b = 2
[mm] a_{0} [/mm] = 2
c = 2
n = 0
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] b^{n}a_{0} [/mm] + [mm] \bruch{c}{1-b}(1-b^{n})
[/mm]
Die Werte eingesetzt ergibt das:
[mm] a_{0} [/mm] = [mm] a_{0}
[/mm]
Nun mach ich den Induktionsschluss:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] b^{n+1}a_{0} [/mm] + [mm] \bruch{c}{1-b}(1-b^{n+1})
[/mm]
Stimmt das soweit?
Wie kann ich nun beweisen, dass es stimmt?
Lg
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Hallo dreamweaver,
Du gehst hier etwas eigenartig vor.
> Es seien b, c [mm]\in \IR.[/mm] Eine Folge [mm]a_{n}[/mm] ist rekursiv durch
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]ba_{n}[/mm] + c, [mm]a_{0} \in \IR[/mm]
>
> definiert.
>
> Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für b
> [mm]\not=[/mm] gilt
Hier müsste es [mm] b\not=\blue{1} [/mm] heißen.
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]b^{n}a_{0}[/mm] + [mm]\bruch{c}{1-b}(1-b^{n})[/mm]
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN_{0}[/mm]
> Hallo alle miteinander!
>
> Zuerst mach ich doch einen Induktionsanfang, dafür nehme
> ich mal folgende Werte an:
>
> b = 2
> [mm]a_{0}[/mm] = 2
> c = 2
> n = 0
Wozu nimmst Du denn [mm] a_0, [/mm] b und c mit irgendwelchen Werten an? Du sollst die Gültigkeit der Formel mit einer Induktion über n zeigen, und da offenbar [mm] n\in\IN_0 [/mm] gilt, hast Du das n richtig angesetzt. Die anderen drei Größen müssen aber allgemein als Parameter stehen bleiben.
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]b^{n}a_{0}[/mm] + [mm]\bruch{c}{1-b}(1-b^{n})[/mm]
> Die Werte eingesetzt ergibt das:
> [mm]a_{0}[/mm] = [mm]a_{0}[/mm]
Ohne Werte gilt das auch noch für alle b,c und [mm] b\not={1}
[/mm]
> Nun mach ich den Induktionsschluss:
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]b^{n+1}a_{0}[/mm] + [mm]\bruch{c}{1-b}(1-b^{n+1})[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
> Wie kann ich nun beweisen, dass es stimmt?
Du weißt ja außerdem, dass [mm] a_{n+1}=ba_n+c [/mm] ist.
Dass diese beiden Gleichungen äquivalent sind, musst Du nun zeigen.
Grüße
reverend
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> Hallo dreamweaver,
>
> Du gehst hier etwas eigenartig vor.
>
> > Es seien b, c [mm]\in \IR.[/mm] Eine Folge [mm]a_{n}[/mm] ist rekursiv durch
> >
> > [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]ba_{n}[/mm] + c, [mm]a_{0} \in \IR[/mm]
> >
> > definiert.
> >
> > Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für b
> > [mm]\not=[/mm] gilt
>
> Hier müsste es [mm]b\not=\blue{1}[/mm] heißen.
>
> > [mm]a_{n}[/mm] = [mm]b^{n}a_{0}[/mm] + [mm]\bruch{c}{1-b}(1-b^{n})[/mm]
> > [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN_{0}[/mm]
> > Hallo alle miteinander!
> >
> > Zuerst mach ich doch einen Induktionsanfang, dafür nehme
> > ich mal folgende Werte an:
> >
> > b = 2
> > [mm]a_{0}[/mm] = 2
> > c = 2
> > n = 0
>
> Wozu nimmst Du denn [mm]a_0,[/mm] b und c mit irgendwelchen Werten
> an? Du sollst die Gültigkeit der Formel mit einer
> Induktion über n zeigen, und da offenbar [mm]n\in\IN_0[/mm] gilt,
> hast Du das n richtig angesetzt. Die anderen drei Größen
> müssen aber allgemein als Parameter stehen bleiben.
>
> > [mm]a_{n}[/mm] = [mm]b^{n}a_{0}[/mm] + [mm]\bruch{c}{1-b}(1-b^{n})[/mm]
> > Die Werte eingesetzt ergibt das:
> > [mm]a_{0}[/mm] = [mm]a_{0}[/mm]
>
> Ohne Werte gilt das auch noch für alle b,c und [mm]b\not={1}[/mm]
Stimmt...
>
> > Nun mach ich den Induktionsschluss:
> > [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]b^{n+1}a_{0}[/mm] + [mm]\bruch{c}{1-b}(1-b^{n+1})[/mm]
> >
> > Stimmt das soweit?
> > Wie kann ich nun beweisen, dass es stimmt?
>
> Du weißt ja außerdem, dass [mm]a_{n+1}=ba_n+c[/mm] ist.
>
> Dass diese beiden Gleichungen äquivalent sind, musst Du
> nun zeigen.
>
Gut dann kann ich ja folgende Gleichung aufstellen:
[mm] b^{n+1}a_{0}+ \bruch{c}{1-b}(1-b^{n+1}) [/mm] = [mm] ba_n+c
[/mm]
Nun muss ich die Gleichung so umformen, dass auf beiden Seiten dasselbe steht oder?
Lg
> Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo dreamweaver!
Du musst in Deine Gleichung nunmehr die Induktionsvoraussetzung anwenden und dann derart zusammenfassen, dass der gewünschte Term entsteht.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Sa 15.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Loddar,
genau das hat er doch gerade getan...
hm. Genaueres Lesen hilft manchmal, wenn auch mir nicht immer. Ich entschuldige mich: Du hast vollkommen Recht.
Hallo dreamweaver,
ja, diese Gleichheit musst Du nun zeigen, und diesmal darfst du noch nicht einmal ein bestimmtes n annehmen. Es muss für alle [mm] a_0,b,c,n [/mm] gelten, natürlich weiterhin mit der Einschränkung [mm] b\not={1}. [/mm] Und wie Loddar sagt: Induktionsvoraussetzung einsetzen!
Grüße
reverend
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Hm, und wie mache ich das?
Ich hab mal alles ausmultipliziert und auf gleichen Nenner gebracht:
[mm] \bruch{b^{n+1} a_{0} - b^{n+2} a_{0} + c - c b^{n+1}}{1-b} [/mm] = b [mm] a_{n} [/mm] + c
Ich weiß nur nicht wie ich das jetzt noch weiter vereinfachen kann.
Ich könnte den rechten Term der Gleichung auch noch auf den Nenner 1-b bringen. Darf man den rechten Teil überhaupt verändern? Theoretisch, darf man ja beide Terme solange verändern, bis sie gleich sind oder?
EDIT:
Ich habs noch so weit vereinfachen können:
[mm] a_{0} b^{n+1} [/mm] (1-b) + c - [mm] cb^{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] b (1-b) + c - cb
Stimmt das soweit?
Wie kann ich das jetzt noch weiter "angleichen" ?
Danke
Lg
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Hallo nochmal,
lies Loddars Hinweis noch einmal. Du musst hier noch [mm] a_n [/mm] ersetzen!
Grüße
rev
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Muss ich [mm] a_{n} [/mm] mit $ [mm] b^{n}a_{0} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{c}{1-b}(1-b^{n}) [/mm] $ ersetzen?
Dann hab ich folgende Gleichung:
$ [mm] b^{n+1}a_{0}+ \bruch{c}{1-b}(1-b^{n+1}) [/mm] = b [mm] b^{n}a_{0} [/mm] + [mm] \bruch{c}{1-b}(1-b^{n})+c [/mm] $
Wenn ich nun beide Terme vereinfache erhalte ich folgende Gleichung:
[mm] a_{0}b^{n+1}(1-b) [/mm] + c - [mm] cb^{n+1} [/mm] = [mm] a_{0}b^{n+1}(1-b) [/mm] + 2c - [mm] cb^{n} [/mm] - cb
Das stimmt doch nicht oder?
Was hab ich falsch gemacht?
Danke
Lg
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Hallo nochmal,
> Muss ich [mm]a_{n}[/mm] mit [mm]b^{n}a_{0}[/mm] + [mm]\bruch{c}{1-b}(1-b^{n})[/mm]
> ersetzen?
Ja.
> Dann hab ich folgende Gleichung:
>
> [mm]b^{n+1}a_{0}+ \bruch{c}{1-b}(1-b^{n+1}) = b b^{n}a_{0} + \bruch{c}{1-b}(1-b^{n})+c[/mm]
Nein. Du hast folgende Gleichung:
[mm] b^{n+1}a_{0}+ \bruch{c}{1-b}(1-b^{n+1}) [/mm] = [mm] b*b^{n}a_{0} [/mm] + [mm] \blue{b}\bruch{c}{1-b}(1-b^{n})+c
[/mm]
> Wenn ich nun beide Terme vereinfache erhalte ich folgende
> Gleichung:
>
> [mm]a_{0}b^{n+1}(1-b)[/mm] + c - [mm]cb^{n+1}[/mm] = [mm]a_{0}b^{n+1}(1-b)[/mm] + 2c -
> [mm]cb^{n}[/mm] - cb
>
> Das stimmt doch nicht oder?
> Was hab ich falsch gemacht?
Weitergerechnet hast Du richtig, aber der Ausgangspunkt war falsch. Deine Gleichung gilt nur für b=1, und das war ja gerade ausgeschlossen.
Grüße
reverend
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Ja stimmt vielen Dank.
Ich hätte da noch eine kleine Aufgabe:
"Bestimmen Sie explizit die Formel für [mm] a_{n}, [/mm] die im Fall b = 1 gilt."
Man geht hier doch von folgender Formel aus oder: $ [mm] a_{n} [/mm] = [mm] b^{n}a_{0} [/mm] + [mm] \bruch{c}{1-b}(1-b^{n}) [/mm] $
Die "Formel" wäre dann ja [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] a_{0} [/mm] $ da der restliche Teil wegfällt oder mache ich mir das zu einfach? ^^
Lg
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Hallo nochmal,
na, das ist doch nicht schwer.
> Ich hätte da noch eine kleine Aufgabe:
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> "Bestimmen Sie explizit die Formel für [mm]a_{n},[/mm] die im Fall
> b = 1 gilt."
>
> Man geht hier doch von folgender Formel aus oder: [mm]a_{n} = b^{n}a_{0} + \bruch{c}{1-b}(1-b^{n})[/mm]
Nein, eher nicht.
> Die "Formel" wäre dann ja [mm]a_{n} = a_{0}[/mm] da der restliche
> Teil wegfällt
Wieso fällt der weg? Er ist nur nicht definiert, was ein Problem ist.
> oder mache ich mir das zu einfach? ^^
Ja.
Die explizit darzustellen Folge heißt doch [mm] a_0,a_0+c,a_0+2c,a_0+3c,a_0+4c,\cdots
[/mm]
Wie schreib man das allgemein auf?
lg
rev
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> Hallo nochmal,
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> na, das ist doch nicht schwer.
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> > Ich hätte da noch eine kleine Aufgabe:
> >
> > "Bestimmen Sie explizit die Formel für [mm]a_{n},[/mm] die im Fall
> > b = 1 gilt."
> >
> > Man geht hier doch von folgender Formel aus oder: [mm]a_{n} = b^{n}a_{0} + \bruch{c}{1-b}(1-b^{n})[/mm]
>
> Nein, eher nicht.
>
> > Die "Formel" wäre dann ja [mm]a_{n} = a_{0}[/mm] da der restliche
> > Teil wegfällt
>
> Wieso fällt der weg? Er ist nur nicht definiert, was ein
> Problem ist.
>
> > oder mache ich mir das zu einfach? ^^
>
> Ja.
>
> Die explizit darzustellen Folge heißt doch
> [mm]a_0,a_0+c,a_0+2c,a_0+3c,a_0+4c,\cdots[/mm]
>
> Wie schreib man das allgemein auf?
Das schreibt man so auf oder:
[mm] \summe_{k=0}^{n} a_{0} [/mm] + kc
Aber wieso erhöht sich das c immer?
Geht man von der Formel [mm] a_{n+1} [/mm] = b [mm] a_{n} [/mm] + c aus?
Woher kommt dann das [mm] a_{0}?
[/mm]
Danke
Lg
>
> lg
> rev
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Hallo,
> > Die explizit darzustellen Folge heißt doch
> > [mm]a_0,a_0+c,a_0+2c,a_0+3c,a_0+4c,\cdots[/mm]
> >
> > Wie schreib man das allgemein auf?
>
> Das schreibt man so auf oder:
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{0}[/mm] + kc
Nein, [mm] a_n=a_0+nc
[/mm]
> Aber wieso erhöht sich das c immer?
> Geht man von der Formel [mm]a_{n+1}[/mm] = b [mm]a_{n}[/mm] + c aus?
Ja, und b=1.
> Woher kommt dann das [mm]a_{0}?[/mm]
Vielleicht von links. Oder Du hast eins in der Tasche.
Das ist halt ein Parameter, der die Folge festlegt. Der andere heißt c.
lg
rev
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gg, alles klar dankeschön!
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Fr 21.01.2011 | | Autor: | reverend |
uiuiui, mit der Reaktionsgeschwindigkeit solltest du nicht mehr Auto fahren. 
lg
rev
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Hehe, deshalb nehm ich ja die U-Bahn.
Ne sorry war ne prüfungsreiche Woche :D
Lg
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