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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion für [mm] n\in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] |
Hallo.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich bin derzeitig am Üben, weswegen ich gerne wüsste, ob meine Vorgehensweise für diesen Beweis richtig ist.
IA:
[mm] \summe_{k=1}^{1} k^2 [/mm] = [mm] (1)^2=1
[/mm]
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] = [mm] \bruch{1(1+1)(2+1)}{6}= \bruch{1(2)(3)}{6}=6
[/mm]
IS:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)[(n+1)+1](2(n+1)+1)}{6}=
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^2 \gdw \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] + [mm] (n+1)^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] + [mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] + [mm] (n+1)^2
[/mm]
Damit ich nun [mm] (n+1)^2 [/mm] auf den Bruch bekomme, muss ich mit 6 erweitern.
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=
[/mm]
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}
[/mm]
Uuiui und jetzt wirds schwer.
In den Folgenden Schritten behandle ich nur den Zähler, da es sonst umständlicher zu schreiben ist.
[mm] n*(n+1)*(2n+1)+6*(n+1)^2 [/mm] = [mm] n*(n+1)*[(2(n+1))-1]+6(n+1)^2=
[/mm]
[mm] n*[2(n+1)*(n+1)-(n+1)]+6*(n+1)^2 [/mm] =
[mm] n*[2*(n+1)^2-(n+1)]+6*(n+1)^2=
[/mm]
2n [mm] (n+1)^2 [/mm] - n*(n+1)+ [mm] 6*(n+1)^2=
[/mm]
[mm] (2n+6)(n+1)^2-n*(n+1)
[/mm]
Und jetzt komme ich nicht wirklich weiter.
Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg, oder habe ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht?
Über Antworten würde ich mich sehr freuen.
Danke im Voraus.
Grüße
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Hallo und danke für die schnelle Antwort.
Ich weiß nicht so richtig, was du meinst. Deshalb versuche ich es mal, wie ich es verstanden habe:
Laut Assozitivgesetz kann ich ja schreiben:
[mm] 6*(n+1)^2+n*(n+1)(2n+1)
[/mm]
[mm] 6*(n+1)\cdot(n+1)+n(n+1)*(2n+1)= (n+1)\cdot6*(n+1)+(n+1)(2n+1)*n
[/mm]
Hier soll ich also (n+1) ausklammern?
Sodass folgt:
[mm] (n+1)\cdot[(6*(n+1))+((2n+1)*n)]?
[/mm]
Edit: Nun könnte ich ja den hinteren Term ausklammern in:
[mm] 6n+6+2n^2+n=2n^2+7n+6
[/mm]
Nachdem ich mal den (n+2)*(2n+3) ausgeklammert habe, kommt dasselbe raus, sodass diese Lösung scheinbar richtig ist.
Jetzt bin ich aber doch eher per Zufall darauf gestoßen.
Gibt es irgendwelche Übungen, die man machen kann um solche Umformungen [mm] 2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3) [/mm] schneller zu erkennen?
Bei binomischen Formeln finde ich, dass nicht so schwer, jedoch habe ich bei solchen Termen meist etwas Probleme.
Grüße
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> Edit: Nun könnte ich ja den hinteren Term ausklammern in:
> [mm]6n+6+2n^2+n=2n^2+7n+6[/mm]
> Nachdem ich mal den (n+2)*(2n+3) ausgeklammert habe, kommt
> dasselbe raus, sodass diese Lösung scheinbar richtig ist.
> Jetzt bin ich aber doch eher per Zufall darauf gestoßen.
> Gibt es irgendwelche Übungen, die man machen kann um
> solche Umformungen [mm]2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)[/mm] schneller zu
> erkennen?
Hallo,
gerade bei der vollständigen Induktion ist es wichtig, daß man das Ziel, welches man am Ende der Gleichungskette erreichen möchte, nicht aus den Augen verliert.
man muß sich immer fragen: was möchte ich denn gern bekommen - und dann guckt man, ob das Glück einem bereits hold ist.
Üben, üben, üben...
Ich mach's auf meinem Zettelchen oft so, daß ich gleichzeitig vom Anfang und vom Ende der Gleichungskette ausgehend arbeite - irgendwo treffen sich die Rechnungen dann.
Gruß v. Angela
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