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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Zeitlos |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass n³ + (n+1)³ + (n+2)³ stets durch 3 teilbar ist ! |
Das Prinzip der vollständigen Induktion ist mir eigentlich ziemlich klar, ich weiß nur nicht wie ich die Teilbarkeit durch 3 beweisen soll.
Induktionsstart:
A(1) 1³+2³+3³= 36
wahre Aussage da 36/3 = 18
Induktionsannahme:
A(n) => A(n+1)
weiter komme ich nicht... ?!
Ich habe mir überlegt, ob ich vl die Ziffernsummenregel anwenden kann, da ich aber im nächsten Beispiel die Teilbarkeit durch 2^(n+3) beweisen muss und es für diese keine Regel gibt muss man Teilbarkeit doch irgendwie anders beweisen können....
lg
Carina
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Hallo Carina,
> Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass n³ + (n+1)³
> + (n+2)³ stets durch 3 teilbar ist !
Bevor man hier die Induktion anwendet, wäre es vielleicht besser den oberen Term zu expandieren, d.h. Terme wie [mm] $(n+1)^3$ [/mm] mittels der ![[]](/images/popup.gif) binomischen Formeln "aufzulösen". Danach erhält man ein Polynom 3ten Grades, dessen Koeffizienten Du dir genauer ansehen solltest. Eigentlich wärst Du hier schon fertig, aber da es hier um Induktion geht, mußt Du nun den Fall [mm] $n\leadsto [/mm] n+1$ betrachten. (D.h. Du "ersetzt" alle [mm] $n\!$ [/mm] im Term durch [mm] $n+1\!$.). [/mm] Danach argumentierst Du: Da die Koeffizienten <hier zählst Du die Koeffizienten auf, die Du meinst> der Summanden des Polynoms alle durch 3 teilbar sind, folgt die Aussage für alle [mm] $n\!$. [/mm] (Die binomischen Formeln mußt Du hier also nicht nochmal anwenden und die Induktion wird hier eigentlich auch nicht benötigt.)
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Zeitlos |
Ich erhalte dann ein Polynom deren Koeffizienten alle durch 3 teilbar sind, woraus man schließen kann, dass jede der Produkte die sich mit beliebigen n ergeben durch 3 teilbar sind.
Aber ist dieser Schluss als Induktionsbeweis gültig ?
Die Frage die mir sich stellt, ob es da nicht einen "mathematischeren" Weg geben müsste, da ich wie erwähnt im nächsten Beispiel die Teilbarkeit durch 2^(n+3) beweisen muss. Für diese kann ich mir ja keine Koeffizienten mehr ansehen und daraus Schlüsse ziehen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Sa 09.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die meisten solchen Teilbarkeitsaussagen kann man direkt schneller als mit Induktion rauskriegen, siehe dein vorliegender Beweis.
Aber du sollst halt Induktion üben. man geht so vor:
schreib A(n+1) auf, dann versuche es so umzuformen dass da A(n) steht + Rest oder [mm] Zahl*A_n+Rest. [/mm] jetzt musst du nur noch zeigen, dass der Rest durch die Zahl (hier 3) teilbar ist, weil dja k*A(n) nach Ind.vors teilbar ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Zeitlos |
Also ich habe nun errechnet:
A(n)= 3n³+9n²+15n+9
A(n+1) = 3m³+18n²+42n+36
als Differenz ergibt sich nun:
9n²+27n+27
nun kann ich aber wieder nur damit argumentieren dass die Koeffizienten durch drei teilbar sind ?!
womit ich wieder vor dem selben Problem stehe.
irgendwie versteh ich das nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Sa 09.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Also ich habe nun errechnet:
> A(n)= 3n³+9n²+15n+9
> A(n+1) = 3m³+18n²+42n+36
>
> als Differenz ergibt sich nun:
> 9n²+27n+27
>
> nun kann ich aber wieder nur damit argumentieren dass die
> Koeffizienten durch drei teilbar sind ?!
Wie wäre es mit Ausklammern von 3:
9n²+27n+27=3(....).
In der Klammer steht irgendein Term, der (warum?) eine natürliche Zahl ergibt, und diese Zahl wird mit 3 multipliziert.
Ein Term der Form [mm] 3\cdot [/mm] q mit q [mm] \in \IN [/mm] ist laut Definition der Teilkbarkeit durch 3 teilbar.
> womit ich wieder vor dem selben Problem stehe.
> irgendwie versteh ich das nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Zeitlos |
weil 3n²+9n+9 eine quadratische Gleichung ist ?
aaah. dies geht dann natürlich auch bei jedem anderen beliebigen Faktor.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Zeitlos |
ach schwachsinn.
weil ich der Beweis nur für natürliche Zahlen gilt und daher nur natürliche Zahlen herauskommen können.
Danke wirklich für die Hilfe :))
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Hallo Zeitlos,
> weil 3n²+9n+9 eine quadratische Gleichung ist ?
Nein, viel eher deshalb, weil nach Ausklammern dasteht:
[mm]\red{3}\cdot{}\blue{(3n^2+9n+9)}[/mm]
Und da [mm]3[/mm] sicher [mm]\red{3}[/mm] teilt, teilt 3 auch das Produkt [mm]\red{3}\cdot{}\blue{(3n^2+9n+9)}[/mm]
Das sind doch elementare Teibarkeitsregeln:
[mm]a\mid b\Rightarrow a\mid (b\cdot{}c)[/mm] ([mm]c\in\IN[/mm])
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> aaah. dies geht dann natürlich auch bei jedem anderen
> beliebigen Faktor.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Sa 09.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass n³ + (n+1)³
> + (n+2)³ stets durch 3 teilbar ist !
> Das Prinzip der vollständigen Induktion ist mir
> eigentlich ziemlich klar, ich weiß nur nicht wie ich die
> Teilbarkeit durch 3 beweisen soll.
>
> Induktionsstart:
> A(1) 1³+2³+3³= 36
> wahre Aussage da 36/3 = 18
>
> Induktionsannahme:
> A(n) => A(n+1)
>
> weiter komme ich nicht... ?!
Hallo,
im konkreten Fall wüsste ich einige einfachere Beweise ohne vollst. I., aber es geht offensichtlich darum, dieses Verfahren an vielfältigen Beispielen zu üben.
Induktionsvoraussetzung:
[mm] 3|(n^3+(n+1)^3+(n+2)^3)
[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm] 3|((n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3)
[/mm]
Prinzipiell sollte man immer versuchen, den Term der Induktionsbehauptung unter weitestgehenden Verwendung der Induktionsvoraussetzung zu schreiben.
Nun erhält man
[mm] (n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3,
[/mm]
indem man [mm] n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 [/mm] nimmt, [mm] n^3 [/mm] wegnimmt und stattdessen [mm] (n+3)^3 [/mm] dazu gibt.
Wenn, wie vorausgesetzt, [mm] n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 [/mm] durch 3 teilbar ist und
[mm] (n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3 [/mm] auch durch 3 teilbar sein soll, muss also die "Änderung" [mm] -n^3+(n+3)^3 [/mm] auch durch 3 teilbar gewesen sein.
Wenn es dir gelingt, letzteres zu zeigen, ist der Beweis so gut wie geführt.
Dann kannst du am Ende schreiben:
Aus Ind.-V. und [mm] 3|(-n^3+(n+3)^3) [/mm] folgt Ind.-B.
Gruß Abakus
>
> Ich habe mir überlegt, ob ich vl die Ziffernsummenregel
> anwenden kann, da ich aber im nächsten Beispiel die
> Teilbarkeit durch 2^(n+3) beweisen muss und es für diese
> keine Regel gibt muss man Teilbarkeit doch irgendwie anders
> beweisen können....
>
> lg
> Carina
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