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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 So 19.09.2010 | | Autor: | Beckx |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n}sin(kx) [/mm] = [mm] \bruch{sin(\bruch{(n+1)x}{2})}{sin(\bruch{x}{2})}*sin(\bruch{nx}{2}) [/mm] |
Hallo,
ich bin seit 2 Stunden mit dieser Aufgabe beschäftigt und komme einfach nicht zurecht. Ich habe eine Musterlösung zu dieser Aufgabe aber die jeweiligen Rechenschritte beim Induktionsbeweis sind mir nicht schlüssig.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Also los gehts, Vollständige Induktion:
(Induktionsansatz und Induktionsvorraussetzung spar ich mir an dieser Stelle mal)
Induktionsbeweis:
Es muss gelten:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}sin(kx) [/mm] = [mm] \bruch{sin(\bruch{(n+2)x}{2})}{sin(\bruch{x}{2})}*sin(\bruch{(n+1)x}{2})
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}sin(kx) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}sin(kx)+sin((n+1)x)
[/mm]
= [mm] \bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2}) }{ sin(\bruch{x}{2}) }*sin(\bruch{nx}{2})+sin((n+1)x)
[/mm]
= [mm] \bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2})*sin(\bruch{nx}{2})+sin(\bruch{x}{2})*sin((n+1)x) }{ sin(\bruch{x}{2}) }
[/mm]
= [mm] \bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2})*[ sin(\bruch{nx}{2})+2sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{(n+1)x}{2}) ] }{ sin(\bruch{x}{2}) }
[/mm]
= [mm] \bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2})*[ sin(\bruch{x}{2}-\bruch{(n+1)x}{2})+sin(\bruch{x}{2}+\bruch{(n+1)x}{2}) ] }{ sin(\bruch{x}{2}) } [/mm]
= [mm] \bruch{sin(\bruch{(n+2)x}{2})}{sin(\bruch{x}{2})}*sin(\bruch{(n+1)x}{2})
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Soweit die Musterlösung.
Mir ist allerdings nicht klar welche Rechen- bzw. Umformungsregeln hier verwendet wurden. Ich wäre sehr dankbar wenn mir das einer erklären könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg
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Hallo BeckX,
du solltest etwas genauer schreiben, welche Umformung dir unklar ist ...
> [mm]\summe_{k=1}^{n}sin(kx)[/mm] =
> [mm]\bruch{sin(\bruch{(n+1)x}{2})}{sin(\bruch{x}{2})}*sin(\bruch{nx}{2})[/mm]
> Hallo,
> ich bin seit 2 Stunden mit dieser Aufgabe beschäftigt und
> komme einfach nicht zurecht. Ich habe eine Musterlösung zu
> dieser Aufgabe aber die jeweiligen Rechenschritte beim
> Induktionsbeweis sind mir nicht schlüssig.
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
>
> Also los gehts, Vollständige Induktion:
>
> (Induktionsansatz und Induktionsvorraussetzung spar ich mir
> an dieser Stelle mal)
>
> Induktionsbeweis:
> Es muss gelten:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}sin(kx)[/mm] =
> [mm]\bruch{sin(\bruch{(n+2)x}{2})}{sin(\bruch{x}{2})}*sin(\bruch{(n+1)x}{2})[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}sin(kx)[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}sin(kx)+sin((n+1)x)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2}) }{ sin(\bruch{x}{2}) }*sin(\bruch{nx}{2})+sin((n+1)x)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2})*sin(\bruch{nx}{2})+sin(\bruch{x}{2})*sin((n+1)x) }{ sin(\bruch{x}{2}) }[/mm]
Hier ist lediglich erweitert bzw. gleichnamig gemacht worden.
>
> = [mm]\bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2})*[ \red{ sin(\bruch{nx}{2})}+2sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{(n+1)x}{2}) ] }{ sin(\bruch{x}{2}) }[/mm]
Additionstheorem für Sinus:
[mm]\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)[/mm]
Hier mit [mm]a=b=\frac{(n+1)x}{2}[/mm]
auch: Halbwinkelformel
Schreib die mal auf, dann wird [mm]\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)[/mm] ausgeklammert.
>
> = [mm]\bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2})*[ sin(\bruch{x}{2}-\bruch{(n+1)x}{2})+sin(\bruch{x}{2}+\bruch{(n+1)x}{2}) ] }{ sin(\bruch{x}{2}) }[/mm]
Hier werden die beiden Additionstheoreme [mm]\sin(\alpha+\beta)=\ldots[/mm] und [mm]\sin(\alpha-\beta)=\ldots[/mm] verwendet.
Schreibe dir die mal auf und addiere sie ...
Dennoch meine ich, dass hier der Term [mm]\red{\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}[/mm] verschlabbert wurde.
Mit den erwähnten Additionstheoremen bekommst du nur das [mm]2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)[/mm] klein ...
>
> =
> [mm]\bruch{sin(\bruch{(n+2)x}{2})}{sin(\bruch{x}{2})}*sin(\bruch{(n+1)x}{2})[/mm]
> [mm]\Box[/mm]
>
>
> Soweit die Musterlösung.
> Mir ist allerdings nicht klar welche Rechen- bzw.
> Umformungsregeln hier verwendet wurden. Ich wäre sehr
> dankbar wenn mir das einer erklären könnte.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 So 19.09.2010 | | Autor: | Beckx |
Hallo!
Danke erstmal für die schnelle Antwort.
Mir ist dieser Schritt hier allerdings immernoch unklar:
[mm] \bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2})\cdot{}sin(\bruch{nx}{2})+sin(\bruch{x}{2})\cdot{}sin((n+1)x) }{ sin(\bruch{x}{2}) }
[/mm]
= [mm] \bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2})\cdot{}[ sin(\bruch{nx}{2})+2sin(\bruch{x}{2})\cdot{}cos(\bruch{(n+1)x}{2}) ] }{ sin(\bruch{x}{2}) }
[/mm]
Also explizit: wie kommt man auf:
[mm] sin(\bruch{x}{2})\cdot{}sin((n+1)x) [/mm] = [mm] 2sin(\bruch{x}{2})\cdot{}cos(\bruch{(n+1)x}{2})\cdot{}sin(\bruch{(n+1)x}{2})
[/mm]
> Additionstheorem für Sinus:
>
> [mm]\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)[/mm]
>
> Hier mit [mm]a=b=\frac{(n+1)x}{2}[/mm]
>
> auch: Halbwinkelformel
Das verwirrt mich leider etwas.
[mm] a=b=\frac{(n+1)x}{2}, [/mm] also
[mm] sin(\frac{(n+1)x}{2} [/mm] + [mm] \frac{(n+1)x}{2}) [/mm] = ...
ist doch nirgendwo in der Aufgabe gegeben?
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Hallo nochmal,
> Hallo!
> Danke erstmal für die schnelle Antwort.
>
>
> Mir ist dieser Schritt hier allerdings immernoch unklar:
> [mm]\bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2})\cdot{}sin(\bruch{nx}{2})+sin(\bruch{x}{2})\cdot{}\blue{sin((n+1)x)} }{ sin(\bruch{x}{2}) }[/mm]
>
> = [mm]\bruch{ sin(\bruch{(n+1)x}{2})\cdot{}[ sin(\bruch{nx}{2})+2sin(\bruch{x}{2})\cdot{}cos(\bruch{(n+1)x}{2}) ] }{ sin(\bruch{x}{2}) }[/mm]
>
>
> Also explizit: wie kommt man auf:
> [mm]sin(\bruch{x}{2})\cdot{}sin((n+1)x)[/mm] =
> [mm]2sin(\bruch{x}{2})\cdot{}cos(\bruch{(n+1)x}{2})\cdot{}sin(\bruch{(n+1)x}{2})[/mm]
>
>
> > Additionstheorem für Sinus:
> >
> > [mm]\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)[/mm]
> >
> > Hier mit [mm]a=b=\frac{(n+1)x}{2}[/mm]
> >
> > auch: Halbwinkelformel
> Das verwirrt mich leider etwas.
>
> [mm]a=b=\frac{(n+1)x}{2},[/mm] also
> [mm]sin(\frac{(n+1)x}{2}[/mm] + [mm]\frac{(n+1)x}{2})[/mm] = ...
> ist doch nirgendwo in der Aufgabe gegeben?
Na, die Halbwinkelformel ist ein Spezialfall des Additionstheorems oben.
Schreibe mal [mm]\blue{\sin((n+1)x)}=\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}+\frac{(n+1)x}{2}\right)=\ldots[/mm]
Das gibt gem. dem oben stehenden Additionstheorem genau
[mm]\blue{2\cdot{}\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)\cdot{}\cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}[/mm]
Das kannst du oben im Zähler (blau markiert) hinten ersetzen und danach [mm]\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)[/mm] ausklammern.
Das führt genau auf die Zelie mit der eckigen Klammer im Zähler.
LG
schachuzipus
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