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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Di 16.02.2010 | | Autor: | XeZZ |
| Aufgabe | 1. Für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 5 gilt: [mm] 2^{n}>n(n+1)
[/mm]
2. Für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 gilt: [mm] \produkt_{i=1}^{n}i^{i} \ge n^{n(n-1)} [/mm] |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hiho,
ich bin unglaublich schlecht im Beweise folgern mussdas aber langsam mal lernen. Ich hab Ansätze zu beiden Beiweisen und möchte die auch mal dazustellen :)
1.
Behauptung: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 5 gilt: [mm] 2^{n}>n(n+1)
[/mm]
Induktionsanfang:
n = 5
[mm] 2^{5}>5(5+1)
[/mm]
64>30
Induktionsschritt:
Behauptung: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 5 gilt: [mm] 2^{n+1}>(n+1)(n+2)
[/mm]
Beweis:
[mm] 2^{n+1}>(n+1)(n+2)
[/mm]
[mm] 2^{n}*2>n^{2}+3n+2 [/mm]
[mm] 2^{n}*2>n^{2}+15+2 [/mm] (Für das 3n habe ich hier 3*5 eingesetzt wegen der Bedingung für n. Ich glaube dieser Schritt ist unzulässig aber danach ist es offensichtlich. Bin ich nun fertig?)
2.
Behauptung: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 gilt: [mm] \produkt_{i=1}^{n}i^{i} \le n^{n(n-1)}
[/mm]
Induktionsanfang:
n = 2
[mm] \produkt_{i=1}^{2}i^{i} \le 2^{2(2-1)}
[/mm]
[mm] 1^{1}*2^{2} \le 2^{2}
[/mm]
4 [mm] \le [/mm] 4
Induktionsschritt:
Behauptung: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 gilt: [mm] \produkt_{i=1}^{n+1}i^{i} \le (n+1)^{n(n+1)}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}i^{i} \le (n+1)^{n(n+1)}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n}i^{i}*(n+1)^{n+1} \le (n+1)^{n^{2}+n}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n}i^{i}*(n+1)^{n}(n+1) \le (n+1)^{n^{2}}(n+1)^{n} [/mm] <--- Der Therm der nun auf beiden Seiten vorhanden ist kann gestrichen werden
[mm] \produkt_{i=1}^{n}i^{i}*(n+1) \le (n+1)^{n^{2}} [/mm]
Abhier hängts... Ich würde nun das Produktzeichen aufschlüsseln:
[mm] 1^{1}*....*n^{n}(n+1) \le (n+1)^{n^{2}} [/mm]
Aber was mir das nun sagt... Was kommt als nächstes?
Danke schonmal fürs Lesen :) mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Di 16.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du gehst nicht wirklich von der Induktionsvors. aus.
richtig vorrausgesetzt wird:
$ [mm] 2^{n}>n(n+1) [/mm] $
daraus folgt
$ [mm] 2^{n}*2>n(n+1)*2$
[/mm]
bleibt zu zeigen
[mm] 2n(n+1)\ge [/mm] (n+1)*(n+2)
wegen n>2 gilt aber immer n+n=2n>n+2
also haben wir aus der Indvors hergeleitet
$ [mm] 2^{n}*2=2^{n+1}>n(n+1)*2>(n+1)*n+2)$
[/mm]
so jetzt mach das ähnlich in der zweiten aufgabe, fang an mit der Indvors. multiplizier links und rechts mit dem zusätzlichen Faktor.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Di 16.02.2010 | | Autor: | XeZZ |
Ok also ich denke ich habs nun hinbekommen bin mir aber nicht 100% sicher auch was das formale angeht (Da wird bei uns enorm viel Wert drauf gelegt) deswegen nochmal der hoffentlich korrekte vollständige Beweis:
1.
Behauptung: Für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit n $ [mm] \ge [/mm] $ 5 gilt: $ [mm] 2^{n}>n(n+1) [/mm] $
Induktionsanfang:
n = 5
$ [mm] 2^{5}>5(5+1) [/mm] $
64>30
Induktionsschritt:
Behauptung: Für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit n $ [mm] \ge [/mm] $ 5 gilt: $ [mm] 2^{n+1}>(n+1)(n+2) [/mm] $
Beweis:
[mm] 2^{n}>n(n+1)
[/mm]
[mm] 2^{n}*2>n(n+1)*2
[/mm]
[mm] 2^{n+1}>2n^{2}+2n
[/mm]
Noch zu zeigen:
[mm] 2n^{2}+2n>(n+1)(n+2) [/mm]
[mm] 2n^{2}+2n>n^{2}+3n+2 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 5
Daraus folgt:
$ [mm] 2^{n+1}>(n+1)(n+2) [/mm] $ q.e.d.
Behauptung: Für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit n $ [mm] \ge [/mm] $ 2 gilt: $ [mm] \produkt_{i=1}^{n}i^{i} \le n^{n(n-1)} [/mm] $
Induktionsanfang:
n = 2
$ [mm] \produkt_{i=1}^{2}i^{i} \le 2^{2(2-1)} [/mm] $
$ [mm] 1^{1}\cdot{}2^{2} \le 2^{2} [/mm] $
4 $ [mm] \le [/mm] $ 4
Induktionsschritt:
Behauptung: Für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit n $ [mm] \ge [/mm] $ 2 gilt: $ [mm] \produkt_{i=1}^{n+1}i^{i} \le (n+1)^{n(n+1)} [/mm] $
Beweis:
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}i^{i} \le n^{n(n-1)}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}i^{i}(n+1)^{n+1} \le n^{n(n-1)}(n+1)^{n+1}
[/mm]
Noch zu zeigen: [mm] n^{n(n-1)}(n+1)^{n+1} [/mm] < [mm] (n+1)^{n(n+1)}
[/mm]
[mm] n^{n(n-1)}(n+1)^{n+1} [/mm] < [mm] (n+1)^{n(n-1)}(n+1)^{n+1}
[/mm]
[mm] n^{n(n-1)}(n+1)^{n+1} [/mm] < [mm] (n+1)^{n^{2}+1}
[/mm]
[mm] (n+1)^{n^{2}+1} [/mm] < [mm] (n+1)^{n(n+1)}
[/mm]
[mm] (n+1)^{n^{2}+1} [/mm] < [mm] (n+1)^{n^{2}+n}
[/mm]
Daraus folgt: Für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit n $ [mm] \ge [/mm] $ 2 gilt: $ [mm] \produkt_{i=1}^{n+1}i^{i} \le (n+1)^{n(n+1)} [/mm] $
q.e.d.
Ist das richtig so nun?
mfg
PS: Ich hab mich glaube ich verklickt und nun sind da beide Fragen offen :P
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Wenn ich es "ganz exakt" machen würde:
Induktionsanfang: n=5
$ [mm] 2^{5}>5(5+1) [/mm] $
64>30
Induktionsschritt (n>5):
Induktionsvoraussetzung:
$ [mm] 2^{k}>k(k+1) [/mm] $
Induktionsbehauptung:
$ [mm] 2^{k+1}>(k+1)(k+1+1) [/mm] $
Induktionsbeweis:
$ [mm] 2^{k+1} [/mm] = [mm] 2^{k}*2$
[/mm]
$ [mm] 2^{k+1} [/mm] > k(k+1)*2$ Induktionsvoraussetzung eingesetz
[mm] $\ldots [/mm] = [mm] 2k^2+2k$
[/mm]
[mm] $\ldots [/mm] = [mm] k^2+k^2+2*k$ [/mm]
[mm] $\ldots [/mm] = [mm] k^2+k*k+2*k$
[/mm]
[mm] $\ldots [/mm] > [mm] k^2+5*k+2*k$
[/mm]
[mm] $\ldots [/mm] = [mm] k^2+3*k+4*k$
[/mm]
[mm] $\ldots [/mm] > [mm] k^2+3*k+2$
[/mm]
[mm] $\ldots [/mm] = (k+1)(k+2)$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> [mm]\ldots = k^2+k*k+2*k[/mm]
> [mm]\ldots > k^2+5*k+2*k[/mm]
Hier müsste es [mm] $\ge$ [/mm] statt $>$ heißen, denn k ist eine beliebige natürliche Zahl [mm] $\ge5$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Di 16.02.2010 | | Autor: | wieschoo |
Nö.Wieso? In meinem Induktionsschritt steht ja $n>5$ und nicht [mm] $n\ge5$. [/mm] $n=5$ gehört ja noch zum Induktionsanfang. Im Induktionschritt nehme ich alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $ mit der Eigenschaft $ n>5 $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Mi 17.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Sorry, dass ich erst jetzt reagiere; habe diesen Beitrag zunächst übersehen.
Der Induktionsschritt soll tatsächlich die Aussage nur für n>5 zeigen. Um sie dabei für n=6 zu zeigen, muss man den Schritt von k nach k+1 für k=5 vollziehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 16.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist alles nicht falsch. aber warum du immer die Klammern ausmultiplizierst, und es damit komplizierter machst verstehich nicht.
warum $ [mm] 2n^{2}+2n>n^{2}+3n+2 [/mm] $ musst du doch irgendwie begründen.
daas 2n>n+2 ist für n>2 dagegen ist kar. also sollte man schreiben 2n*(n+1)>(n+2)*(n+1)
dein Ausmultiplizieren macht das ganze nur unklarer.
entsprechend in der nächsten Induktion, wo du ja auf den Exponenten n*(n+1) raus willst.
Du musst deutlich sagen, wo du vergrößerst oder verkleinerst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Di 16.02.2010 | | Autor: | XeZZ |
Ok dann werd ich in zukunft die Schritte noch ein wenig kommentieren undso danke für eure Hilfe :)
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