Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Fr 30.10.2009 | | Autor: | St4ud3 |
| Aufgabe | Es seien n,a [mm] \in \IN [/mm] wobei m > 1. Zeigen sie mit vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{a^{i}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-1} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{a^{n}}) [/mm] |
Hi,
ich komm bei der Aufgabe nicht weiter. Ich habs bisher nach dem addieren von [mm] \bruch{1}{a^{n+1}} [/mm] aufgelöst nach
[mm] \bruch{1}{a-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2a^{n+1}+a^{n}}
[/mm]
Danach hab ich nen paar Möglichkeiten durchprobiert, bei denen ich mich aber irgendwann immer verrannt habe. Stimmt schon etwas mit meinem Ansatz nicht, oder bin ich einfach blind und sehe nur nicht, wie ich das ordentlich zusammenfassen kann.
*Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Fr 30.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo St4ud3!
Da muss bei Deiner Umformung schon etwas schief gegangen sein. Es gilt:
[mm] $$\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{a^i} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{a^i}}+\bruch{1}{a^{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{1}{a-1}*\left(1-\bruch{1}{a^n}\right)}+ \bruch{1}{a^{n+1}} [/mm] \ = \ ...$$
Nun den hinteren Bruch zunächst mit $(a-1)_$ erweitern.
Gruß
Loddar
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