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| Aufgabe | | Ein Rechteck wird durch n Geraden in Dreiecke, Vierecke, Fünfecke usw. zerlegt. Wie viele Teile entstehen höchstens? Beweisen Sie Ihre Vermutung. Anleitung: Wie viele Schnittpunkte hat eine neu hinzugekommene Gerade höchstens? |
Hallo,
komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Eine Vermutung habe ich bereits herausgefunden, aber beim Beweis hängt's:
Behauptung: [mm] Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n}i [/mm] für [mm] n\in\IN; n\ge0
[/mm]
Beweis: vollständige Induktion
Induktionsanfang: n=0: [mm] Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{0}i=1+0=1
[/mm]
[mm] \to [/mm] Behauptung ist wahr für n=0
Vermutung: [mm] Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n}i
[/mm]
Schluss von n auf n+1: ???
Mein Problem ist, dass meine Behauptung diesmal nur aus einer Formel besteht. Sonst sah die Behauptung immer so aus: Ausdruck1 = Ausdruck2
Beim Beweis habe ich dann einfach in Ausdruck1 und Ausdruck2 für n immer n+1 eingesetzt und Ausdruck1 dann solange umgeformt, bis der Ausdruck2 herauskam. Somit war es bewiesen.
Nur wie soll ich das hier umformen?
[mm] Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n+1}i=1+\summe_{i=0}^{n}(i)+(n+1) [/mm] ??
Damit wäre es zwar irgendwie bewiesen, weil ich in meiner Tabelle sehe, dass die n-te Gerade immer n+1 zusätzliche Flächen erzeugt. Aber das kann ja nicht die Lösung sein. Ich darf zum Beweisen ja nur meine Behauptung verwenden. Es ist schließlich nicht bewiesen, dass die n-te Gerade max. n+1 zusätzliche Flächen erzeugt.
Wie geht es also sonst weiter?
Die Frage wurde nirgends sonst gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Do 12.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Ein Rechteck wird durch n Geraden in Dreiecke, Vierecke,
> Fünfecke usw. zerlegt. Wie viele Teile entstehen höchstens?
> Beweisen Sie Ihre Vermutung. Anleitung: Wie viele
> Schnittpunkte hat eine neu hinzugekommene Gerade
> höchstens?
> Hallo,
>
> komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Eine Vermutung habe
> ich bereits herausgefunden, aber beim Beweis hängt's:
>
> Behauptung: [mm]Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n}i[/mm] für [mm]n\in\IN; n\ge0[/mm]
>
> Beweis: vollständige Induktion
> Induktionsanfang: n=0:
> [mm]Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{0}i=1+0=1[/mm]
> [mm]\to[/mm] Behauptung ist wahr für n=0
> Vermutung: [mm]Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n}i[/mm]
> Schluss von n auf n+1: ???
>
> Mein Problem ist, dass meine Behauptung diesmal nur aus
> einer Formel besteht. Sonst sah die Behauptung immer so
> aus: Ausdruck1 = Ausdruck2
> Beim Beweis habe ich dann einfach in Ausdruck1 und
> Ausdruck2 für n immer n+1 eingesetzt und Ausdruck1 dann
> solange umgeformt, bis der Ausdruck2 herauskam. Somit war
> es bewiesen.
>
> Nur wie soll ich das hier umformen?
>
> [mm]Teile_{max}=1+\summe_{i=0}^{n+1}i=1+\summe_{i=0}^{n}(i)+(n+1)[/mm]
> ??
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> Damit wäre es zwar irgendwie bewiesen, weil ich in meiner
> Tabelle sehe, dass die n-te Gerade immer n+1 zusätzliche
> Flächen erzeugt. Aber das kann ja nicht die Lösung sein.
> Ich darf zum Beweisen ja nur meine Behauptung verwenden. Es
> ist schließlich nicht bewiesen, dass die n-te Gerade max.
> n+1 zusätzliche Flächen erzeugt.
Wann entsteht eine neue Fläche?
Nimm an, du hast bereits n Geraden (die nicht parallel sind und sich auch alle innerhalb des Rechtecks paarweise schneiden) durch das Rechteck gezogen.
Die nächste Gerade kann alle n Geraden und zweimal die Begrenzung des Rechtecks schneiden.
All diese Schnittpunkte liegen der Reihe nach auf der Geraden . Eine neue Teilfläche entsteht, indem aus einer besteheden Fläche eine Teilfläche ausgeschnitten wird. Zwischen den genannten n+2 Schnittpunkten der neuen Geraden liegen n+1 abgeschnittene Flächen.
Man kann hier wirklich nicht nur mit Formeln arbeiten, sondern muss auch zur geometrischen Sachlage argumentieren.
Gruß Abakus
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> Wie geht es also sonst weiter?
>
> Die Frage wurde nirgends sonst gestellt.
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Hm, okay, ich dachte, man müsste irgendwas rechnen.
Aber danke!
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