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| Aufgabe | Also ansich kann ich die vollständige Induktion ich habe nur noch ein paar Fragen zu meiner Lsg.
Aufgabe : Beweisen sie die nachfolgende Summenformel mit Hilfe der vollständigen Induktion.
[mm] \summe_{k = 1}^{n} [/mm] ( 2k - 1 [mm] )^{2} =\bruch{n(4n^{2}-1)}{3} [/mm] |
Induktionsanfang: Dabei gucke ich doch ob für z.B. n = 1 das Ganze gilt.
IA : [mm] \summe_{k = 1}^{n = 1} [/mm] ( 2k - 1 [mm] )^{2}=\bruch{n(4n^{2}-1)}{3}
[/mm]
=> 1=1 also OK
Induktionsvorraussetzung : Dabei schreibe ich doch eigentlich nur noch mal den Term ab oder??
IV: [mm] \summe_{k = 1}^{n} [/mm] ( 2k - 1 [mm] )^{2} =\bruch{n(4n^{2}-1)}{3}
[/mm]
Induktionsbeweis: Dabei beweise ich das es auch für n+1 gilt.
IB: [mm] \summe_{k = 1}^{n+1} [/mm] ( 2k - 1 [mm] )^{2} =\bruch{n(4n^{2}-1)}{3}
[/mm]
und nun setzte ich anstatt n , n+1 in der rechte Seite ein
= [mm] \summe_{k = 1}^{n+1} [/mm] ( 2k - 1 [mm] )^{2} =\bruch{(n+1)(4(n+1^{2})-1)}{3}
[/mm]
= [mm] \bruch{4n^{3}+12n^{2}+11n+3}{3}
[/mm]
so nun habe ich es für die rechte Seite bewiesen. Jetzt mach ich das ganze noch für die linke Seite :
Beweis:
[mm] \summe_{k = 1}^{n+1} [/mm] ( 2k - 1 [mm] )^{2} =\bruch{n(4n^{2}-1)}{3}
[/mm]
nu setzte ich n+1 nur links ein aber addiere zur linken noch die rechte seite hinzu
= [mm] \bruch{n(4n^{2}-1)}{3} [/mm] + [mm] (2(n+1)-1)^{2}
[/mm]
das rechne ich aus und erhalte dann
= [mm] \bruch{4n^{3}+12n^{2}+11n+3}{3}
[/mm]
Somit waere das Ganze doch bewiesen oder??
Die Zahlen stimmen, müssen also nicht nachgerechnet werden, es geht nur um das allg. Verständnis.
Danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Do 05.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Aufgabe : Beweisen sie die nachfolgende Summenformel mit
> Hilfe der vollständigen Induktion.
>
> [mm]\summe_{k = 1}^{n}[/mm] ( 2k - 1 [mm])^{2} =\bruch{n(4n^{2}-1)}{3}[/mm]
>
> Induktionsanfang: Dabei gucke ich doch ob für z.B. n = 1
> das Ganze gilt.
>
> IA : [mm]\summe_{k = 1}^{n = 1}[/mm] ( 2k - 1
> [mm])^{2}=\bruch{n(4n^{2}-1)}{3}[/mm]
>
> => 1=1 also OK
Ja
> Induktionsvorraussetzung : Dabei schreibe ich doch
> eigentlich nur noch mal den Term ab oder??
>
> IV: [mm]\summe_{k = 1}^{n}[/mm] ( 2k - 1 [mm])^{2} =\bruch{n(4n^{2}-1)}{3}[/mm]
Ja
> Induktionsbeweis: Dabei beweise ich das es auch für n+1
> gilt.
>
> IB: [mm]\summe_{k = 1}^{n+1}[/mm] ( 2k - 1 [mm])^{2} =\bruch{n(4n^{2}-1)}{3}[/mm]
So ist das ja sicher falsch, dielinke Seite ist fuer n+1, die rechte Seite ist fuer n.
> und nun setzte ich anstatt n , n+1 in der rechte Seite ein
>
> = [mm]\summe_{k = 1}^{n+1}[/mm] ( 2k - 1 [mm])^{2} =\bruch{(n+1)(4(n+1^{2})-1)}{3}[/mm]
> = [mm]\bruch{4n^{3}+12n^{2}+11n+3}{3}[/mm]
Das ist jetzt die Induktionsbehauptung, die aus der Ind. Vors folgen muss.
> so nun habe ich es für die rechte Seite bewiesen. Jetzt
> mach ich das ganze noch für die linke Seite :
Nein, du hast nur die Beh. umgeschrieben und nichts bewiesen. hier steht immer noch nur die Ind. Behauptung.
> Beweis:
>
> [mm]\summe_{k = 1}^{n+1}[/mm] ( 2k - 1 [mm])^{2} =\bruch{n(4n^{2}-1)}{3}[/mm]
Das ist wieder falsch, siehe oben.
> nu setzte ich n+1 nur links ein aber addiere zur linken
> noch die rechte seite hinzu
Du machst das richtige, sagst das falsche:
[mm]\summe_{k = 1}^{n+1}[/mm] ( 2k - 1 [mm][mm] )^{2} =\summe_{k = 1}^{n}( [/mm] 2k - 1 [mm][mm] )^{2} [/mm] + (2(n+1)-1)
jetzt setzest du fuer [mm]\summe_{k = 1}^{n}[/mm] ( 2k - 1 [mm][mm] )^{2} [/mm]
die IndVors ein! das musst du hier sagen!
> = [mm]\bruch{n(4n^{2}-1)}{3}[/mm] + [mm](2(n+1)-1)^{2}[/mm]
>
> das rechne ich aus und erhalte dann
>
> = [mm]\bruch{4n^{3}+12n^{2}+11n+3}{3}[/mm]
>
> Somit waere das Ganze doch bewiesen oder??
Ja, was du gerechnet hast ist richtig, nur deine Worte falsch und einige Gleichungen.
Also kurz.
1.Ind Vors. hinschreiben.
2.Ind. Beh. hinschreiben.
3. aus Ind. vors, durch Hinzufuegen des (n+1)ten Summanden die Beh zeigen. Dazu kannst du, wie hier die Beh. natuerlich umformen.
Gruss leduart
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Also läuft es wie folgt ab ( mal gucken ob ich das verstanden habe )
2.Ind. Anfang n=1 einsetzten und prüfen ob linke und rechte seite gleich sind
3.Ind. Vor. hinschreiben = aufgabe erneut hinschreiben
4. Ind. behauptung hinschreiben und bei der rechten seite anstatt n n+1 einsetzten und ausrechnen
5. Ind Beweis = A(n) + A(n+1)
zu meiner Vorraussetzung addiere ich jetzt A(n+1) und wenn meine Behauptung und Ergb. des Bew. gleich sind stimmt es.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Do 05.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also läuft es wie folgt ab ( mal gucken ob ich das
> verstanden habe )
Nicht ganz: Aber dazu auch das hier
>
> 2.Ind. Anfang n=1 einsetzten und prüfen ob linke und
> rechte seite gleich sind
Okay, aber manchmal brauchst du auch einen anderen Startwert.
> 3.Ind. Vor. hinschreiben = aufgabe erneut hinschreiben
Im Prinzip ja.
> 4. Ind. behauptung hinschreiben und bei der rechten seite
> anstatt n n+1 einsetzten und ausrechnen
Auf beiden Seiten musst du n+1 hinschreiben.
> 5. Ind Beweis = A(n) + A(n+1)
> zu meiner Vorraussetzung addiere ich jetzt A(n+1) und
> wenn meine Behauptung und Ergb. des Bew. gleich sind stimmt
> es.
Addieren ist nicht zwingend nötig. Es kommt auf die Aussage an.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Ein Kochrezept für Induktionsbeweise gibt es nicht.
Statt Dir die reine "Mechanik" eines Induktionsbeweises in den Kopf zu hämmern, soltest Du Dich eher bemühen, das Induktionsprinzip zu verstehen.
FRED
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