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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Di 21.10.2008 | | Autor: | fndrx |
| Aufgabe | Die Folge [mm] a_n [/mm] ist durch eine rekursive Beschreibung gegeben. Berechnen Sie die ersten acht Folgengleider. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion , dass die Folge beschränkt ist. Beweisen Sie damit die Monotonie der Folge und ermitteln Sie dann den Grenzwert.
a) [mm] a_1 [/mm] = -2 und [mm] a_n [/mm] = (1/3)*a_(n-1) + 3 |
Hi Leute :)
Nachdem ich gestern , wie ich hoffe , erfolgreich den Beweis von Ungleichungen verstanden habe , komme ich nun zum Beweis von Beschränktheit u. Monotonie. Dieses Thema haben wir in der Schule NICHT behandelt , ich versuche es aus reiner Interesse und Vorsorge ( Wer weiss vielleicht kommt es in der Klausur :) ) zu verstehen :P
Dabei habe ich mich selber mal rangewagt :
a) Folgenglieder : -2 ; -2/3 + 3 ;
Beschränktheit : Ich vermute , dass -2 <= [mm] a_n [/mm] <= 4.5
Ianfang : -2<= -2 <= 4.5
Iannahem : es gelte : -2 <= [mm] a_k [/mm] <= 4.5
Schluss ( k -> k+1) zu zeigen -2 <= [mm] a_k+1 [/mm] <= 4.5
[mm] a_k+1 [/mm] = (1/3) * [mm] a_k [/mm] + 3
-2 <= (1/3) * [mm] a_k [/mm] + 3 <= 4.5
Da gilt -2 <= [mm] a_k [/mm] <= 4.5 gilt folglich
-2 * 1/3 + 3 <= [mm] (1/3)*a_k [/mm] + 3 <= 4.5 * 1/3 + 3 ohje das ist 100%falsch^^
-2/3 + 3 <= 1/3 * [mm] a_k [/mm] + 3 <= 4.5
7/3 <= 1/3 * a_ k + 3 <= 4.5 Hmm weiter wiss ich au net :P
Bitte beachten : Ich versuche das zum ersten Mal also erwartet nicht zu viel und ich bin um jeden Tipp dankbar :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Di 21.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo fndrx!
Du kannst hier nicht beide Schranken (obere und untere Schranke) in ein und derselben Induktion nachweisen.
Da musst Du schon zweimal eine Induktion durchführen:
$$(1) \ \ \ [mm] a_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ -2$$
$$(2) \ \ \ [mm] a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +4.5$$
Damit sollte es dann ziemlich schnell gehen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Di 21.10.2008 | | Autor: | fndrx |
Na gut , ein neuer Versuch :)
Anfang für 2 induktionen : -2<= [mm] a_k
[/mm]
Annahme : es gelte : -2 <= [mm] a_k
[/mm]
Schluss : zu zeigen : -2 <= [mm] a_k+1
[/mm]
-2 <= (1/3) * [mm] a_k [/mm] + 3 -> ANNAHME
-2*1/3 + 3 <= 1/3* [mm] a_k [/mm] + 3
-2/3 +3 <= [mm] 1/3*a_k [/mm] + 3
Das k-te Folgenglied ist natürlich >= als das 1. Folgenglied
reicht das oder ist es überhaupt korrekt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Di 21.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo fndrx!
Gehe andersrum heran:
[mm] $$a_{k+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\red{a_k}+3 [/mm] \ [mm] \underset{\text{I.V.}}{\ge} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{3}*(\red{-2})+3 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 21.10.2008 | | Autor: | fndrx |
:D nochmal : a_(k+1) = [mm] (1/3)*a_k [/mm] + 3 -> Folge
Annahme : -2<= [mm] a_k
[/mm]
schluss -2 <= [mm] a_k+1 [/mm]
<-> [mm] (1/3)*a_k+3=> [/mm] (1/3)*-2 +3=-2/3+3
[mm] a_k+1 [/mm] >= a1
q.e.d ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 21.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo fndrx!
Du versuchst hier gerade zwei völlig unterschiedliche Dinge gleichzeitig zu "beweisen".
Bei dieser Abschätzung hier musst Du am Ende die Ungleichung [mm] $a_{k+1} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ -2$ erhalten.
Gruß
Loddar
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