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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mo 20.10.2008 | | Autor: | fndrx |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion.
b) [mm] n^2 [/mm] > 2n+1 für n>=3 |
Hi Leute :)
Ich schreibe am Mittwoch meine erste Klausur und habe dazu noch eine Frage :P
Wir behandeln das Thema Zahlenfolgen , dazu die vollständige Induktion
Bei einer Aufgabe komme ich aber leider nicht weiter , trotz x-malem Probieren
Die Aufgabe lautet :
Beweisen sie durch vollstädige Induktion :
[mm] n^2 [/mm] > 2n + 1 für n>=3
Anfang : [mm] 3^2 [/mm] > 2*3+1 stimmt natürlich !
Annahme : Es gelte : [mm] k^2 [/mm] > 2k + 1
Schluss : k -> k+1
[mm] (k+1)^2 [/mm] > 2(k+1)+1
Soweit so gut , aber ich habe keine idee wie ich jetzt die Annahem wieder mit einbziehen soll , wie man es ja in der Regel macht , oder ?
Eine Frage stellt sich mir auch , ob das n >= 3 beachtet oder verwendet werden muss bei dem Beweis ?
Nichts destotrotz habe ich versucht weiterzumachen :
[mm] k^2 [/mm] + 2k + 1 -> [mm] k^2 [/mm] hatten wir ja schon in der Annahme nämlich [mm] k^2 [/mm] > 2k+1
-> [mm] k^2 [/mm] +2k +1 > 2k+1+2k+1
[mm] k^2 [/mm] +2k+1 > 4k+2
Auch hier dann kein Weiterkommen , wobei dieser Schritt wahr. eh falsch ist !
Ich bin über jede Hilfe dankbar !
PS: kleine Zwischenfrage :P lim 1/n * [mm] n^2 [/mm] = 0 oder ? , da lim 1/n = 0 und 0 * [mm] n^2 [/mm] = 0
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Vollstaendige-Induktion-Ungleichung-Bezug-Induktionsannahme-schluss
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> Wir behandeln das Thema Zahlenfolgen , dazu die
> vollständige Induktion
> Bei einer Aufgabe komme ich aber leider nicht weiter ,
> trotz x-malem Probieren
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Sieht aber gar nciht so schlecht aus, was Du machst!
> Die Aufgabe lautet :
> Beweisen sie durch vollstädige Induktion :
> [mm]n^2[/mm] > 2n + 1 für n>=3
>
> Anfang : [mm]3^2[/mm] > 2*3+1 stimmt natürlich !
>
> Annahme : Es gelte : [mm]k^2[/mm] > 2k + 1
für ein [mm] k\in \IN_{\ge 3}.
[/mm]
>
> Schluss : k -> k+1
Zu zeigen:
Unter dieser Annahme ist
> [mm](k+1)^2[/mm] > 2(k+1)+1 .
> Soweit so gut , aber ich habe keine idee wie ich jetzt die
> Annahem wieder mit einbziehen soll , wie man es ja in der
> Regel macht , oder ?
> Eine Frage stellt sich mir auch , ob das n >= 3 beachtet
> oder verwendet werden muss bei dem Beweis ?
Du hast es im Induktionsanfang bereits beachtet. Mit k=2 hättest Du ja keine wahre Aussage bekommen.
>
> Nichts destotrotz habe ich versucht weiterzumachen :
Gut!
Beweis:
Es ist
[mm] (k+1)^2=
[/mm]
> [mm]k^2[/mm] + 2k + 1
(-> [mm]k^2[/mm] hatten wir ja schon in der Annahme
> nämlich [mm]k^2[/mm] > 2k+1 )
Nach Induktionsvoraussetzung erhält man
>
> [mm]k^2[/mm] +2k +1 > 2k+1+2k+1
=4k+2
> Auch hier dann kein Weiterkommen , wobei dieser Schritt
> wahr. eh falsch ist !
Alles richtig bisher. Nun muß man das Ziel, 2(k+1)+1, fest ins Auge fassen
Du hattest
[mm] (k+1)^2=...> [/mm] 4k+2 = 2(k+1) + 1 + (2k - 1)
Da [mm] k\ge [/mm] 3 ist 2k-1 [mm] \ge [/mm] 5, also
...> 2(k+1) + 1 +5 > 2(k+1) + 1.
Es fehlte also nicht mehr so viel. Das Abschätzen ist anfangs halt sehr ungewohnt.
> PS: kleine Zwischenfrage :P lim 1/n * $ [mm] n^2 [/mm] $ = 0 oder
Nein.
> ? , da lim 1/n = 0 und 0 * $ [mm] n^2 [/mm] $ = 0
Nein.
Sondern lim 1/n * $ [mm] n^2= [/mm] lim n [mm] =\infty [/mm] (für [mm] n\to \infty)
[/mm]
Sowas, was mit der eigentlichen Frage nichts zu tun hat, in Zukunft bitte in einer eigenen Diskussion posten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 20.10.2008 | | Autor: | fndrx |
Danke schonmal für die Bemühungen :P
mir ist klar dass :
[mm] k^2 [/mm] + 2k +1 > 4k + 2 ist , aber wieso
[mm] k^2 [/mm] + 2k + 1 > 2(k+1) + 1 - (2k+1) ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo fndrx!
Da hast Du falsch abgeschrieben. Angela hatte geschrieben:
[mm] $$k^2+2k+1 [/mm] \ > \ 2*(k+1)+1 \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] (2k\red{-}1)$$
[/mm]
Es gilt doch:
$$4k+2 \ = \ [mm] \blue{2k+3}+2k-1 [/mm] \ = \ [mm] \blue{2*(k+1)+1}+\underbrace{(2k-1)}_{> \ 0 \ \text{für} \ k\ge 3} [/mm] \ > \ 2*(k+1)+1$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 20.10.2008 | | Autor: | fndrx |
Ach das muss ich nochmal unbedingt loswerden :P
Wie du geschrieben hattest :
4k + 2 = 2(k+1) + 1 + (2k-1) > 2(k+1)+1
Weil vorher festgelegt wurde dass [mm] k^2 [/mm] > 4k ist und wir nun gezeigt haben dass 4k+2 ( Ist ja sozusagen die Annahme , also muss gelten ) > 2(k+1)+1 MUSS das auch für den Nachfolger gelten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo fndrx!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 20.10.2008 | | Autor: | fndrx |
Sorry , klar ist logisch , ist nur umgeformt um auf das zu zeigende zu kommen , richtig ?
Ich glaube ich habe es einigermaßen verstanden , nur dass man für k dann 3 einsetzt um zu zeigen dass es größer ist als 2(k+1)+1
Dachte ich probiere vllt. nochmal eine Aufgabe :)
Beweise durch vollständige Induktion :
[mm] 2^n [/mm] > 4n für alle n>= 5
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mo 20.10.2008 | | Autor: | fndrx |
Sorry Irgendwie ist das Forum noch ein wenig ungewohnt und Ich habe aus Versehen meine Lösung vergessen dazu zu schreiben und ich hatte keine Edit Taste gefunden :( Tut mir Leid
also :
[mm] 2^n [/mm] > 4n n>=5 soll bewiesen werden
Anfang : [mm] 2^5 [/mm] > 4*5 stimmt
Annahme : [mm] 2^k [/mm] > 4k
k -> k+1 <-> 2^(k+1) > 4(k+1)
[mm] 2^k [/mm] * 2 > 2 * 4k -> Annahme !!
Jetzt muss ich ja irgendwie auf 4(k+1) = 4k + 4 kommen ? :P
Aber von 2*4k auf 4k+4 zu kommen scheint mir irgendwie unmöglich , und wo ich dann wieder die n>= 5 integrieren soll , weiss ich leider nicht. Alles echt noch sehr ungewohnt , freue mich riesig über ne weitere Antwort !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo fndrx!
Es gilt:
$$2*4n \ = \ 4n+4n$$
Wie kann man nun abschätzen (insbesondere das hintere $4n_$ ), um auf $4n+4 \ = \ 4(n+1)$ zu kommen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mo 20.10.2008 | | Autor: | fndrx |
Ich weiss leider nicht ganz was sie mit "abschätzen" meinen , aber vllt ja so :
Ich mach mal bei :
2 * 4k = 4k + 4k weiter
2*4k = 4k+4k > 4k +4 , da k > 0 bzw k>= 5 ist ?
q.e.d ? ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo fndrx!
Genauso meinte ich das.
Du hast hier durch das Ungleichheitszeichen abgeschätzt mit $4*k \ > \ 4 \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ \ k \ [mm] \ge [/mm] \ 5$ .
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
