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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Mi 16.02.2005 | | Autor: | andi82 |
Ich hab folgendes Problen bei einer Aufgabe, die mit der Vollständigen
Induktion bewiesen werden soll:
Nach dem ich für n=n+1 eingesetzt habe erhalte ich das:
[mm] \summe_{k=n+1}^{2n+2}k=3* \summe_{k=1}^{n+1}k
[/mm]
nun soll ich diese Gleichung wie folgt umstellen:
[mm] \summe_{k=n}^{2n}k [/mm] -n+(2n+1)+(2n+2)=3* [mm] \summe_{k=1}^{n}k [/mm] +(n+1)
also was mir unklar ist, warum mann bei [mm] \summe_{k=n}^{2n}k [/mm] -n+(2n+1)+(2n+2) das -n einfügen muss. Ich hätte statt dessen +1 geschrieben, aber das ist falsch. Kann mir jemand diese Logik erklären?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
[mm]\summe_{k=n+1}^{2n+2}k \ = \ \summe_{k=n}^{2n}k \ -n+(2n+1)+(2n+2)[/mm]
Du willst ja den Schritt gehen (umformen) von $k=n+1$ zu $k=n$ (untere Grenze).
In diesem Fall (es ist ja die untere Grenze) vergrößerst Du ja die Anzahl der Summanden um einen Summanden, da Deine Summe ja bei einer kleineren Zahl beginnt.
Daher mußt Du etwas entsprechendes wieder abziehen, um die Gleichheit aufrecht zu erhalten.
Wenn Dir das noch etwas unklar ist, kannst Du die jeweiligen Summenzeichen ja auch einmal ausschreiben und dann vergleichen, was hier der Unterschied ist.
[mm] $\summe_{k=n}^{2n}k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=n}^{n}k [/mm] \ + \ [mm] \summe_{k=n+1}^{2n}k [/mm] \ = \ [mm] \red{n} [/mm] \ + \ [mm] \summe_{k=n+1}^{2n}k$
[/mm]
Die obere Grenze habe ich hier mal außen vor gelassen, da hast Du ja bereits die richtigen Summanden herausgezogen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Mi 16.02.2005 | | Autor: | andi82 |
Merci Loddar, hab meinen Denkfehler erkannt.
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