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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Towly |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1 = n |
Schönen guten Abend!
Also ersteinmal, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Das hier war eh das beste das ich gefunden habe. Ich habe die vollständige Induktion schon anhand der Anleitungen hier bei einigen anderen Beweisen durchgeführt, aber bei dieser scheinbar simplen Aufgabe passt es nicht.
1.) Zunächst einmal setze ich für den I.A. n=1 links wie rechts ein und erhalte 1=1
Jetzt kommt mein Problem:
2.) I.S.: [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] 1 = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1 + ???
Hier bin ich nicht zur Transferleistung im Stande. Einfach nur (1+n)+1 kommt nicht hin. Normalerweise setze ich ja wenn ich zum Beispiel:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^{2} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2} [/mm] + [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
ein, also k=(n+1), aber in diesem Fall habe ich kein k.
Ich wäre wirklich happy, wenn mir jemand helfen könnte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo und willkommen hier!
Beim Induktionsschritt musst du nun zeigen, dass [mm] \summe_{i=1}^{n+1}1=n+1 [/mm] gilt.
Folgende Umschreibung kannst du dafür benutzen:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}1=\summe_{i=1}^{n}+1.
[/mm]
Denn jeder Summand dieser Summe ist ja eben 1. :) auch den n+1-te, den du ja abspalten wolltest.
Alles klar? Wenn nicht, dann frag einfach nochmal!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Towly |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!!
Und dann folgt A(n+1) = A(n) + 1 = n+1
und das ist natürlich identisch damit wenn ich n+1 für das n in der Annahme setze, und damit habe ich schon den Induktionsschluss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem :)
Ja, du hast ja [mm] \summe_{i=1}^{n+1}1=\summe_{i=1}^{n}1+1 [/mm] und nach Induktionsvoraussetzung ist [mm] \summe_{i=1}^{n}1=n. [/mm] Wenn du das dann einsetzt, kommst du auf deine Aussage, die du zeigen wolltest.
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}1=n+1
[/mm]
Teufel
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