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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Mi 16.01.2008 | | Autor: | mempys |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion
[mm] \summe_{k=1}^{n}k³= [/mm] (n²(n+1)²)/4 |
Hallo!
Ich weiss leider überhaupt nicht, wie an diese Aufgabe rangehen soll..
Bitte um Hilfe..
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mempys,
na, wie immer bei ner Induktion:
zuerst mal den Induktionsanfang für n=1
Zeige, dass gilt [mm] $\sum\limits_{k=1}^1k^3=\frac{1^2\cdot{}(1+1)^2}{4}$
[/mm]
Dann im Induktionsschritt [mm] n\to [/mm] n+1 zeige, dass unter der
Induktionsvoraussetzung: Gelte für ein beliebiges, aber festes [mm] n\ge [/mm] 1 [mm] $\red{\sum\limits_{k=1}^nk^3=\frac{n^2\cdot{}(n+1)^2}{4}}$
[/mm]
gefälligst auch [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\frac{(n+1)^2\cdot{}((n+1)+1)^2}{4}$ [/mm] gilt
Dazu nimm dir die linke Seite [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3$ [/mm] her und forme sie so um, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst:
Ich mache mal den Anfang:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\red{\left(\sum\limits_{k=1}^{n}k^3\right)}+(n+1)^3=\red{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}+(n+1)^3$
[/mm]
Die rote Umformung gilt wegen der Induktionsvoraussetzung
Nun forme den Rest so um, dass die gewünschte rechte Seite am Ende dasteht
Gruß
schachuzipus
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