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Hallo,
ich bin gerade dabei, meine verschütteten Schulkenntnisse zu reaktivieren.
zu zeigen: [mm] n^{2} [/mm] > 2n + 1 für n [mm] \in \IN [/mm] und n [mm] \ge [/mm] 3
I.A. n = 3 9 > 7 ist erfüllt
I.V. [mm] n^{2} [/mm] > 2n + 1
I.S [mm] (n+1)^{2} [/mm] > 2(n+1) +1
[mm] n^{2} [/mm] + 2n + 1 > 2n + 3
[mm] n^{2} [/mm] > 2
was ja für n [mm] \ge [/mm] 3 erfüllt ist.
Ist die Vollständige Induktion damit beendet ?
Vielen Dank fürs Drüberschauen.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Di 16.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Abend,
> Hallo,
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> ich bin gerade dabei, meine verschütteten Schulkenntnisse
> zu reaktivieren.
>
> zu zeigen: [mm]n^{2}[/mm] > 2n + 1 für n [mm]\in \IN[/mm] und n [mm]\ge[/mm] 3
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> I.A. n = 3 9 > 7 ist erfüllt
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> I.V. [mm]n^{2}[/mm] > 2n + 1
>
> I.S [mm](n+1)^{2}[/mm] > 2(n+1) +1
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> [mm]n^{2}[/mm] + 2n + 1 > 2n + 3
>
> [mm]n^{2}[/mm] > 2
>
> was ja für n [mm]\ge[/mm] 3 erfüllt ist.
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> Ist die Vollständige Induktion damit beendet ?
>
Ja, das ist völlig korrekt. Allerdings sollte dir hier auffallen, daß du die Induktionsvoraussetzung ja gar nicht benötigt hast.
Dann sollte es allerdings auch einen Weg geben, den Beweis ohne Induktion zu führen, und in der Tat:
[mm] $n^2 [/mm] > 2n + 1$
[mm] $\Leftrightarrow n^2 [/mm] - 2n - 1 > 0$
[mm] $\Leftrightarrow (n-1)^2 [/mm] - 2 > 0$
[mm] $\Leftrightarrow (n-1)^2 [/mm] > 2$
ist offenbar erfüllt für alle $n [mm] \geq [/mm] 3.$
Also nicht gleich mit Kanonen auf Spatzen schießen 
Gute N8
Will
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