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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Di 26.06.2007 | | Autor: | Binky |
| Aufgabe | Beiweise mit vollständiger Induktion:
[mm] 2^n [/mm] > n² für alle natürlichen Zahlen /ge 5 |
I. I.A.
n=5
[mm] 2^5>5² \gdw [/mm] 32>25 w.A.
II. I.S. für n+1
2^(n+1) = [mm] 2*2^n [/mm] > 2n²
[mm] \Rightarrow [/mm] 2n² > (n+1)² (> weil n [mm] \in \IN \ge [/mm] 5)
[mm] \Rightarrow 2*2^n [/mm] > (n+1)²
[mm] \Rightarrow [/mm] 2^(n+1) > (n+1)²
kann man nun also den rot gemakerten Bereich so voraussetzen oder macht man dieses ganz anders?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Interetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Di 26.06.2007 | | Autor: | wauwau |
ich würde als Hilfssatz zuerst
[mm] 2n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3 beweisen, was straight forward zu machen ist
und dann deine Schritte...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Di 26.06.2007 | | Autor: | Binky |
Das stimmt natürlich.
Also mache ich das dann so?:
2n²> (n+1)² für n [mm] \ge [/mm] 3
18>16 falsch
für n [mm] \ge [/mm] 4
32>25 falsch
für n [mm] \ge [/mm] 5
50>36 w.A.
Oder muß das wieder formeller geschrieben werden?
(Entschuldige bitte aber ich bin wirklich ein Anfänger was die Induktion angeht. Versuche es grad im Selbststudium zu lernen)
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> Also mache ich das dann so?:
>
> 2n²> (n+1)² für n [mm]\ge[/mm] 3
>
> 18>16 falsch
Hallo,
und
Ömm - wie bitte???
>
> für n [mm]\ge[/mm] 4
>
> 32>25 falsch
Hä???
>
> für n [mm]\ge[/mm] 5
>
> 50>36 w.A.
> Oder muß das wieder formeller geschrieben werden?
>
> (Entschuldige bitte aber ich bin wirklich ein Anfänger was
> die Induktion angeht. Versuche es grad im Selbststudium zu
> lernen)
Ich hoffe, daß Du inzwischen einsiehst, daß die Aussage auch für n=3 und n=4 gilt.
Du kannst die Aussage also für alle [mm] n\ge [/mm] 3 beweisen.
Induktionsanfang, n=3:
Es ist [mm] 2*3^2=18>16=(3+1)^2, [/mm] also stimmt die Aussage für n=3.
So ist das formell genug. Mehr brauchst Du nicht für den Induktionsanfang.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Di 26.06.2007 | | Autor: | Binky |
Oh, entschuldigt bitte. Das kommt davon wenn man nur so runter tippt und nicht drüber liest, was man verzapft.
Muß ich also
[mm] 2\cdot{}3^2=18>16=(3+1)^2 [/mm] als I.A. nutzen und wieder eine vollständige Ind. dafür machen? und wie knüpfe ich dann wieder an meinen I.S. von vorher an.
Ich komme einfach noch nicht hinter die Logik.
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> Muß ich also
> [mm]2\cdot{}3^2=18>16=(3+1)^2[/mm] als I.A. nutzen und wieder eine
> vollständige Ind. dafür machen?
Richtig.
und wie knüpfe ich dann
> wieder an meinen I.S. von vorher an.
"Organisatorisch" würde ich das so regeln, daß ich [mm] 2n^2>(n+1)^2 [/mm] als Hilfsaussage vor allem anderen beweise. (Bzw. das in der Reinschrift als erstes hinschreibe.) Eine komplette Induktion.
Dann erst folgt der Beweis der Hauptaussage, und Du brauchst an der entsprechenden Stelle nur zu schreiben: wie oben bewiesen.
Gruß v. Angela
> Ich komme einfach noch nicht hinter die Logik.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Di 26.06.2007 | | Autor: | Binky |
Ok, bin nun weiter.
[mm] 2^n>n² [/mm] für alle [mm] \in \IN \ge [/mm] 5
1. I.A. für n=5
[mm] 2^5>5² \gdw [/mm] 32>25 w.A.
I.S. für n+1
2^(n+1) = [mm] 2*2^n [/mm] >2n²
2. Hilfsaussage:
2n²>(n+1)² für alle n [mm] \in \IN \ge [/mm] 5
I.A. für n=5
2*5²>(5+1)² [mm] \gdw [/mm] 50>36 w.A.
I.S. für n+1
2(n+1)² = 2(n²+2n+1) = 2n²+4n+2
[mm] \Rightarrow [/mm] 2n²+4n+2>n²+4n+2=(n+2)²=((n+1)+1)²
[mm] \Rightarrow [/mm] 2(n+1)²>((n+1)+1)² w.A.
Somit folgt aus 2^(n+1) = [mm] 2*2^n [/mm] >2n² und 2(n+1)²>((n+1)+1)²
1 .I.S. Fortsetzung
2^(n+1)>2n²>((n+1)+1)²
[mm] \gdw [/mm] 2^(n+1)>((n+1)+1)² w.A.
somit ist [mm] 2^n>n² [/mm] für alle [mm] \in \IN \ge [/mm] 5 eine wahre Aussage.
Kann man dieses nun so schreiben? Habe einfach mal in der Hilfsaussage [mm] \ge [/mm] 5 genommen. Ist das wichtig dort mit 3 anzufangen? Wenn ja warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Di 26.06.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
Alles vollständig richtig!
aber miit [mm] \wurzel{2}>1,4 [/mm] wegen 2>1.96
gilt schneller [mm] \wurzel{2}*n>1,4*n=n+0,4n>n+1 [/mm] für 0,4n>1 [mm] n\ge3
[/mm]
dann brauchst du keine Induktion.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Di 26.06.2007 | | Autor: | Binky |
Vielen Dank an alle.
So langsam blicke ich dann doch mal durch. Versuche grad die nächsten Aufgaben zu lösen und stelle sie dann mal wegen evtl. Korrekturen ein.
Übung macht den Meister 
@leduart so etwas sehe ich leider nicht auf einen Blick. Denke da brauche ich noch viel Übung für.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Di 26.06.2007 | | Autor: | Binky |
Muß ich das denn machen, da in der Aufgabenstellung ja schon deklariert wurde, dass n [mm] \in \IN [/mm] größer gleich 5 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Di 26.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Aber du kannst nicht ohne Beweis irgendeine Aussage machen!!!!
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