Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie mittels vollständiger Induktion [mm] \summe_{i=1}^{n} 1/(i^3) < 2 - 1/(n^2) [/mm]? |
Ich habe Probleme damit, den Induktionssschritt n-> n+1 zu berechnen...
Mein I.A sieht wie folgt aus...
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/(i^3) [/mm] < 2 - [mm] (1/n^2)
[/mm]
<=> [mm] \summe_{i=1}^{2} (1/1^3) [/mm] + [mm] (1/2^3) [/mm] < 2 - [mm] (1/2^2) [/mm] <=> 1+(1/8) < 2 - (1/4) <=> (9/8) < (7/4) <=> (9/8) < (14/8) <=> 9<14 <=> 0<5 <=> 0<1
I.V gilt bis zu einem festen n.
I.S n-> n+1
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} (1/i^3 [/mm] < 2 - [mm] (1/n+1)^2) [/mm] - 2 - [mm] (1/n^2)
[/mm]
so und nun weiß ich nicht mehr weiter....
Kann mir jemand helfen? Danke schonmal im voraus
Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/default3.html?topic=78272=40
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> Berechnen Sie mittels vollständiger Induktion
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/(i^3) < 2 - 1/(n^2) [/mm]?
> Ich habe Probleme damit, den Induktionssschritt n-> n+1 zu
> berechnen...
Hallo,
ich gehe davon aus, daß Du die Aussage zeigen sollst für alle natürlichen Zahlen n/ge 2.
Im Induktionsanfang mußt Du die Gültigkeit der Aussage für n=2 zeigen.
Also an den Stellen, an welchen "n" steht, die 2 einsetzen und gucken, ob etwas Richtiges herauskommt.
Bei der Induktionsvoraussetzung geht man davon aus, daß die Behauptung
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/(i^3) [/mm] < 2 - [mm] 1/(n^2) [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 2 stimmt.
Im Induktionsschluß nun geht es darum zu zeigen, daß unter obiger Voraussetzung die Behauptung auch für n+1 stimmt. Daß Du also eine wahre Aussage bekommst, wenn Du n überall durch n+1 ersetzt.
Konkret ist zu zeigen: es gilt [mm] \summe_{i=1}^{n+1} 1/(i^3) [/mm] < 2 - [mm] 1/((n+1)^2) [/mm]
Das geht so: Du beginnst mit [mm] \summe_{i=1}^{n+1} 1/(i^3) [/mm] und formst dies so lange uns so geschickt und so richtig und unter Verwendung der Voraussetzung um, bis am Ende 2 - [mm] 1/((n+1)^2) [/mm] dasteht.
Ich mache Dir den Anfang.
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} 1/(i^3)
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n} 1/(i^3)+1/((n+1)^3)
[/mm]
<... + [mm] 1/((n+1)^3) [/mm] an dieser Stelle kannst Du bereits die Induktionsvoraussetzung verwenden. Nun mußt Du weiter zielstrebig umformen, bis Du Dein Ziel
...=2 - [mm] 1/((n+1)^2) [/mm]
erreicht hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 26.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ersteinmal Vielen Dank, für deine Antwort.
Ich hab das mal versucht und komme auf folgendes:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} (1/i^3) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (1/i^3) [/mm] + [mm] (1/(n+1)^3) \le [/mm] 2 - [mm] (1/(n+1)^2) [/mm] + [mm] (1/(n+1)^3)
[/mm]
[mm] \gdw (1/i^3) [/mm] = [mm] (1/i^3) [/mm] + [mm] (1/(n^3+3n^2+3n+1)) \le [/mm] 2 - [mm] (1/(n^2+2n+1) [/mm] + [mm] (1/(n^3+3n^2+3n+1)
[/mm]
jetzt würden sich ja die beiden Brüche [mm] (1/(n^3+3n^2+3n+1) [/mm] gegenseitig wegheben. Doch eigentlich auch [mm] (1/i^3)!?!?! [/mm] Müssen die Summenbezeichnungen weiterhin mitgenommen werden?
Dann müsste doch eigentlich nur noch da stehen
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 2 - [mm] (1/(n^2+2n+1)) [/mm] das wärs ja eignetlich schon... oder?
Bitte um Rückmeldung...
Viele Grüße Bodo0686
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> Ersteinmal Vielen Dank, für deine Antwort.
> Ich hab das mal versucht und komme auf folgendes:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} (1/i^3)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} (1/i^3)[/mm] +
> [mm](1/(n+1)^3) \le[/mm] 2 - [mm](1/(n+1)^2)[/mm] + [mm](1/(n+1)^3)[/mm]
Hallo,
das ist leide nicht richtig.
Guck Dir die Induktionsvoraussetzung ganz genau an: durch was darfst Du
[mm]\summe_{i=1}^{n} (1/i^3)[/mm] abschätzen?
Wenn Dir das geglückt ist, können wir weitersehen.
>
> [mm]\gdw (1/i^3)[/mm] = [mm](1/i^3)[/mm] + [mm](1/(n^3+3n^2+3n+1)) \le[/mm] 2 -
> [mm](1/(n^2+2n+1)[/mm] + [mm](1/(n^3+3n^2+3n+1)[/mm]
Das, was Du hier schreibst, ist [mm] Murks^3.
[/mm]
Ich glaube, daß Du das Summenzeichen noch nicht verstanden hast. Es ist eine abkürzende Schreibweise für lange Summen.
Ich versuche, es Dir zu erklären.
[mm] \summe_{i=1}^{5} (1/i^3) [/mm] bedeutet:
setze in [mm] (1/i^3) [/mm] für i nacheinander alle natürlichen Zahlen von 1 bis 5 ein [mm] (1/1^3, 1/2^3, 1/3^3, 1/4^3, 1/5^3) [/mm] und dann addiere sie, also ist [mm] \summe_{i=1}^{5} (1/i^3)=1/1^3 [/mm] + [mm] 1/2^3 [/mm] + [mm] 1/3^3 [/mm] + [mm] 1/4^3 [/mm] + [mm] 1/5^3.
[/mm]
Entsprechend
[mm] \summe_{i=1}^{n} (1/i^3)=1/1^3 [/mm] + [mm] 1/2^3 [/mm] + [mm] 1/3^3 [/mm] + ... + [mm] 1/(n-1)^3 [/mm] + [mm] 1/n^3
[/mm]
und
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} (1/i^3)=1/1^3 [/mm] + [mm] 1/2^3 [/mm] + [mm] 1/3^3 [/mm] + ... + [mm] 1/n^3 [/mm] + [mm] 1/(n+1)^3
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Do 26.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Laut IV muss ja gelten [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (i/^3) [mm] \le [/mm] 2- [mm] (1/(n+1)^2) [/mm] und zwar für Alle n [mm] \ge [/mm] 2
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} (1/i^3) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (1/i^3) [/mm] < 2 - (1/ [mm] (n^2+2n+1)) [/mm] + [mm] 1/(n+1)^3 [/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{n+1} 1/1^3 [/mm] + [mm] 1/2^4 [/mm] + [mm] 1/3^3 [/mm] + ... + [mm] 1/n^3 [/mm] + [mm] 1/(n+1)^3 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} 1/1^3 [/mm] + [mm] 1/2^4 [/mm] + [mm] 1/3^3 [/mm] + ... + [mm] 1/n^3 [/mm] < 2 - [mm] (1/(n+1)^2) [/mm] + [mm] (1/(n+1)^3)....
[/mm]
Muss ich für n auch noch die Werte ab 2 einsetzen... sodass ich bsp. 2 - [mm] 1/3^2 [/mm] + [mm] 1/4^2 [/mm] ... [mm] 1/n^2 [/mm] da stehen habe etc....??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Do 26.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
die .... bitte wegdenken...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Do 26.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Bodo
die Ind. Vors. ist doch
[mm] \summe_{i=1}^{n}1/i^3< 2-1/n^2
[/mm]
deshalb hast du
[mm] \summe_{i=1}^{n}1/i^3+1/(n+1)^3< 2-1/n^2+1/(n+1)^3
[/mm]
du willst, dass [mm] 2-1/n^2+1/(n+1)^3 \le 2-1/(n+1)^2
[/mm]
das wäre richtig wenn
[mm] 1/n^2+1/(n+1)^3 \ge 1/(n+1)^2 [/mm] ist
das musst du also zeigen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Also wir haben folgenden Ansatz:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} 1/i^3 [/mm] < 2 - [mm] (1/(n+1)^2)
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/i^3 [/mm] < 2 - [mm] (1/(n+1)^2)
[/mm]
Die [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] von [mm] 1/i^3
[/mm]
[mm] 1/1^3 [/mm] + [mm] 1/2^3 [/mm] + [mm] 1/3^3 [/mm] +...+ [mm] 1/n^3 +1/(n+1)^3 [/mm]
bis dahin stimmts doch oder?
Ich setze das jetzt einfach mal so ein: (für die Linke Seite und die rechte Seite habe ich ausmultipliziert...
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/1^3 [/mm] + [mm] 1/2^3 [/mm] + [mm] 1/3^3 [/mm] +...+ [mm] 1/n^3 +1/(n+1)^3 [/mm] < 2 - [mm] (1/n^2+2n+1)
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/1^3 [/mm] + [mm] 1/2^3 [/mm] + [mm] 1/3^3 [/mm] +...+ [mm] 1/n^3 +1/(n+1)^3 [/mm] < 2 - [mm] 1/2^2 [/mm] - [mm] 1/3^2 [/mm] - [mm] 1/4^2 [/mm] - [mm] 1/n^2 [/mm] - [mm] 1/(n+1)^2
[/mm]
So.. Schauen wir bis hier erstmal...
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> Also wir haben folgenden Ansatz:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} 1/i^3[/mm] < 2 - [mm](1/(n+1)^2)[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^3 < 2 - (1/(n+1)^2)[/mm]
Hier machst du den Denkfehler: weil die Summe nur bis n geht - das (n+1)-te Glied schreibst du ja extra - heißt die Abschätzung nur < [mm] 2-1/(n)^2 [/mm] und nicht [mm] <2-1/(n+1)^2 [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok,
dann müsste ja dann folgendes da stehen
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/i^3 [/mm] < 2 - [mm] 1/n^2 [/mm]
Für den Induktionsschritt muss ich ja zeigen, dass das ganze auch für n+1 gilt. Demnach würde ich ja, für jedes n mit n+1 austauschen... wenn ich das mache... dann würde da ja stehen...
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} 1/i^3 [/mm] < 2 - [mm] 1/(n+1)^2
[/mm]
Aber wie muss ich das jetzt weiter vereinfachen, damit ich das gefragte zeigen kann? Ich hänge mittlerweile schon ziemlich lange an dieser Aufgabe und jeder versuchts mir anders zu erklären... Ich wäre dankbar darüber, wenn wir diese Aufgabe jetzt mal zu Ende bringen könnten... 
Viele Grüße
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>Ich hänge mittlerweile schon
> ziemlich lange an dieser Aufgabe und jeder versuchts mir
> anders zu erklären... Ich wäre dankbar darüber, wenn wir
> diese Aufgabe jetzt mal zu Ende bringen könnten...
Sind jetzt die Helfer (in zwei Foren) schuld daran, daß es so lange dauert, oder was???
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Nein, dass will ich damit nicht sagen...
Nur irgendwann verliert man einfach die Lust daran, weils nicht voran geht...
Das war keine Kritik!!! Also keine Angst 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Fr 27.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Bodo
Du hast das Wesen der vollst. Induktion noch nicht richtig verstanden.
Etwas ist für 2 richtig.
Wenn man jetzt daraus, dass es für n richtig ist SCHLIEßEN kann, dass es auch für n+1 richtig ist, dann kann man von den schon gezeigten 2 auf 3 daraus auf 4, auf 5 usw. schliessen.
> Ok,
>
> dann müsste ja dann folgendes da stehen
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^3[/mm] < 2 - [mm]1/n^2[/mm]
Das setzt man vorraus!
> Für den Induktionsschritt muss ich ja zeigen, dass das
> ganze auch für n+1 gilt. Demnach würde ich ja, für jedes n
> mit n+1 austauschen... wenn ich das mache... dann würde da
> ja stehen...
Dass das daraus folgt, sollst du zeigen, indem du nur
das [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^3[/mm] < 2 - [mm]1/n^2[/mm] benutzt und natürlich die normalen Rechengestze.
Du weisst also
[mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^3[/mm] < 2 - [mm]1/n^2[/mm]
dann kannst du DAZU auf beiden Seiten [mm] 1/(n+1)^3 [/mm] addieren!
das ist eine legale Rechenoperation, die das Ungleichheitszeichen so stehen lässt.
dann hast du links schon mal stehen was du willst. von der rechten Seite musst du aber noch zeigen, dass sie kleiner oder gleich [mm] 2-1/(n+1)^2 [/mm] ist. das ist der einzige wirklich Beweisschritt den man braucht.
Ich hoff, das ist jetzt klarer.
Und das versuch jetzt mal!
Also beweise :
[mm] 2-1/n^2+1/(n+1)^3 \le 2-1/(n+1)^2
[/mm]
Dann bist du fertig
Gruss leduart
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Du weißt ja bereits, dass [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^3[/mm] < 2 - [mm]1/n^2[/mm] für n=2 gilt. (1. Induktionsschritt)
Nun nimmst du an, dass das auch bis n gilt und zeigst, dass es dann auch für n+1 gelten muss (damit hast du dann automatisch gezeigt: weil es für 2 gilt, gilt es auch für 3, weil es für 3 gilt, auch für 4 usw., also für alle n).
Nun fängst du links an und schreibst:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1} 1/i^3[/mm]. Über diese Summe weißt du zunächst gar nichts, sollst aber eine entsprechende Aussage machen. In dieser Summe steckt aber die Teilsumme, die angeblich < 2 - [mm]1/n^2[/mm] ist. Deshalb spaltest du das Ganze auf in
[mm]\summe_{i=1}^{n+1} 1/i^3[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/i^3[/mm] + [mm] 1/(n+1)^3 [/mm] < 2 - [mm]1/n^2+1/(n+1)^3 [/mm]. Von der Summe bis n weißt du ja, dass sie 2 - [mm] 1/n^2 [/mm] sein soll (Induktionsvoraussetzung). Dann muss also die Summe bis n+1 < 2 - [mm]1/n^2+1/(n+1)^3 [/mm] sein. Du sollst aber herausbekommen, dass sie < 2 - [mm]1/(n+1)^2 [/mm] ist, weil das genau der "Formel" entspricht, die du beweisen sollst. (Das n in der Formel muss überall durch (n+1) ersetzt werden.)
Wenn du also jetzt noch zeigen kannst, dass 2 - [mm] 1/n^2+1/(n+1)^3\le [/mm] 2 - [mm] 1/(n+1)^2 [/mm] ist, bist du fertig.
Deshalb formst du diese Ungleichung um zu
2 - [mm] 1/n^2+1/(n+1)^3\le [/mm] 2 - [mm] 1/(n+1)^2 [/mm] |-2
- [mm] 1/n^2+1/(n+1)^3\le [/mm] - [mm] 1/(n+1)^2 [/mm] |*(-1) dreht das [mm] \le [/mm] -Zeichen um
[mm] 1/n^2-1/(n+1)^3\ge 1/(n+1)^2 [/mm] |erweitert
[mm]1/n^2-1/(n+1)^3\ge (n+1)/(n+1)^3 [/mm] [mm] |+1/(n+1)^3
[/mm]
[mm] 1/n^2\ge 1/(n+1)^3+(n+1)/(n+1)^3
[/mm]
[mm] 1/n^2\ge (n+2)/(n+1)^3 [/mm] |*Nenner
[mm] (n+1)^3 \ge (n+2)*n^2
[/mm]
[mm] n^3+3n^2+3n+1 \ge n^3+2n^2 [/mm] |-rechte Seite
[mm] n^2+3n+1 \ge [/mm] 0 stimmt
Damit ist alles bewiesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ah so... Jetzt hab ich das mal verstanden...
Danke nochmals!!!
Liebe Grüße
Bodo0686
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:43 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Beweisen Sie
b) [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] 1/k! < 3 n [mm] \in \IN [/mm] |
Den Anfang habe ich mit Vollständiger Induktion gelöst, was uns aber
freigestellt wurde. Aber wir sollten nach möglichkeit die Summenformel für
die geometrische Reihe benutzen. Nun meine Frage, habe ich das so richtig gemacht???
I.A n=1
[mm] \summe_{k=0}^{1} [/mm] 1/0! + 1/1! < 3 w.A
I.V Die Behauptung gilt bis zu einem festen n.
so und nun habe ich den Rest einfach abgeschätzt..
1/k! = 1/(1*2*3...k) [mm] \le [/mm] (1//2^(k-1))
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] : ((1-q^(n+1) / (1-q)) für |q| < 1
1+ (1 - [mm] (1/2)^n [/mm] ) / (1 - (1/2)) < 1 + 1/1-0,5 < 3... w.A
Kann man das so lassen?
Vielen Dank
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Hallo,
mach bitte für diese Frage einen eigenen Thread auf, es wird sonst zu unübersichtlich und zu lang.
Gruß v. Angela
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