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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Do 22.03.2007 | | Autor: | Dextro |
| Aufgabe | Zeigen Sie durch Induktion über n, daß für alle n * N gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ( 2. i ) =n2 + n
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Aufgabe soweit gelöst wie ich konnte und hoffe mir kann an der Stelle einer weiterhelfen:
n=1: [mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] ( 2*1) = [mm] 1^2 [/mm] +1 --> richtig
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] ( 2*i ) = ( [mm] n+1)^2 [/mm] + (n+1)
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (2*i)+(n+1) = ( [mm] n^2 +n)+(n+1)=(n+1)^2+(n+1)
[/mm]
[mm] =2n^2+2n+1 [/mm] = [mm] 2n^2+2n+1 [/mm] + (n+1) da ist mein Fehler, ich weiss nicht was mit dem (n+1) zu tun ist, daraus folgt, dass meine Lösung so falsch wäre...
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Guten Abend.
Also fangen wir an:
Behauptung:
[mm] \summe_{i=1}^{n}2*i [/mm] = [mm] n^2+n
[/mm]
Induktionsanfang: n=1
[mm] \summe_{i=1}^{1}2*i=2=1^2+1 [/mm]
Induktionsbehauptung
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}2*i [/mm] = [mm] (n+1)^2+(n+1)
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
[mm] \summe_{i=1}^{n}2*i= n^2+n
[/mm]
Soweit erstmal der schreibkram
Nun der Induktionsschritt
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}2*i=\summe_{i=1}^{n}2*i [/mm] + [mm] \summe_{i=n+1}^{n+1}2*i
[/mm]
Was [mm] \summe_{i=1}^{n}2*i [/mm] ist wissen wir. Du hast bei der Addition von n+1 den Faktor 2 vergessen. Außerdem ist $ [mm] (n^2 +n)+(n+1)\not=(n+1)^2+(n+1) [/mm] $ sondern nur [mm] (n+1)^2
[/mm]
Den Rest solltest du alleine schaffen
Schönen abend noch.
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