Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 So 18.03.2007 | | Autor: | Wishi |
| Aufgabe | Es seien x [mm] \in \IR [/mm] und a [mm] \in \IN [/mm] fest vorgegeben. Zeigen sie mittels vollständiger Induktion die Gültigkeit für alle n [mm] \in \IN: [/mm]
[mm] x^{a}-1* \summe_{j=0}^{n-1} x^{ja}=x^{an}-1 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo allerseits!
Also ich wollte beweisen, dass diese Aussage stimmt. Mit vollständiger Induktion. Hab das schon öfter gemacht, nur diesmal harperts bei anscheinend am Summenzeichen.
Mein Lösungsansatz ging so:
Induktionsanfang: n=1
[mm] A(1)=(x^{a}-1)* \summe_{j=0}^{0} x^{0a} [/mm] = [mm] x^{a} [/mm] -1
[mm] =(x^{a}-1)*1=x^{a}-1
[/mm]
So weit so gut, hoffe ich. Das Summenzeichen fällt, so glaube ich zumindest, weg, da j=0 bis n-1=0 ja nichts in sich hat außer 0. Somit wird [mm] x^{0a} [/mm] zu 1. Oder?
Induktionsannahme: für beliebige n
[mm] A(n)=(x^{a}-1)*\summe_{j=0}^{n-1} x^{ja}=x^{an}-1
[/mm]
[mm] =(x^{a}-1)* x^{0a}+x^{1a}+...+x^{n-1}
[/mm]
und da kommts dann: Wie wird das Summenzeichen nun ausgeschreiben?
Mich verwirrt das schon seit Tagen, besser gesagt, seitdem ich diese Aufgabe in der Klausur sah. Von j=0 bis n-1... das sind doch unendlich viele Zahlen? Wie solln ich das da auflösen?
Weil, dass das stimmt, die Aussage, dass weiß ich mittlerweile ja ;).
Nur irgendwie würde ich das sehr gerne selber beweisen können.
Vielen Dank für Hilfe im Vorraus ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 18.03.2007 | | Autor: | Wishi |
Wow, das ging ja schnell...
Aber sag mal... die Induktionsannahme... die kann ich doch nicht einfach da hinschreiben, oder? Ich meine... das wär ja nichts weiter als die Aufgabenstellung anders aufzuschreiben...
Irgendwo versteh ich das nich... sorry.
[mm] \summe_{j=0}^{n-1}
[/mm]
Das bekomme ich halt für beliebige n irgendwie nicht aufgelöst.
Ansonsten der Schritt ist ja klar, nur die Annahme raff ich nicht so wirklich. Vielen Dank so weit aber wirklich. Superfix ;)
|
|
|
| |
|
Moin nochmal,
vllt nochmal kurz zum Prinzip der VI:
Also IA ist klar
Dann im Induktionsschritt von [mm] n\rightarrow [/mm] n+1 musst du zeigen, dass [mm] \bold{wenn} [/mm] die Aussage für ein festes [mm] n\in\IN [/mm] gilt (Ind.Ann/Ind.Vor), sie [mm] \bold{dann} [/mm] auch für n+1 gilt.
Also vom Schema:
Wenn du zeigst, dass: A(1) [mm] \wedge A(n)\Rightarrow [/mm] A(n+1)
so gilt A für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
Beim Induktionsschritt [mm] n\rightarrow [/mm] n+1 nimmst du dir am besten die linke Seite her und formst sie mithilfe der Induktionsvoraussetzung/Induktionsannahme so um, dass die rechte Seite dasteht.
Klar(er) so?  ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Lieben Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 So 18.03.2007 | | Autor: | Wishi |
Mhh... ? Nicht ganz.
Also das Prinzip der vollständigen Induktion kenne ich ;). Das ist eigentlich gar kein Problem... find ich.
Normalerweise hab ich das immer so gehalten, dass wenn bei der Induktionsannahme A(n) richtig ist, also die Aussage für beliebige n gilt... dann ist die Annahme fertig.
In diesem Falle fange ich also an:
A(n):
[mm] (x^{a}-1)*\summe_{j=0}^{n-1} x^{ja}
[/mm]
= [mm] (x^{a}-1)*x^{0a}+x^{1a}+x^{2a}+...+x^{n-1}
[/mm]
und das soll nun gleich der rechten Seite sein?
Also:
[mm] =x^{an}-1
[/mm]
?
Keine Ahnung... ich habe es so hingeschrieben ;) Aber verstehen tue ich das nicht, weil mir hier speziell bei der Annahme halt die beiden Seiten _ungleich_ vorkommen. Hab ich da echt nen Brett vorm Kopf?
hab hier grade 12 Versuche rumliegen^^. Naja...
Sorry, aber ich studier ja kein Mathe... bloß einfache Informatik ;)
Jedenfalls der Schritt ist mir hier sogar klarer als die Annahme. Die würd ich halt gerne raffen... Warum sind die Seiten gleich ;). Das so mein Casus Knacktus.
|
|
|
| |
|
Ok neuer Versuch
Also die Beh. ist:
[mm] \forall n\in\IN: (x^{a}-1)\cdot{}\summe_{j=1}^{n-1}x^{ja}=x^{an}-1
[/mm]
Nun der IA für n=1 war ja richtig.
Nun der Induktionsschritt [mm] n\rightarrow [/mm] n+1
Der lautet: [mm] A(n)\Rightarrow [/mm] A(n+1)
Also, [mm] \bold{wenn} [/mm] A(n) gilt, [mm] \bold{dann} [/mm] gilt auch A(n+1)
Dh. die Induktionsannahme oder auch Induktionsvoraussetzung ist A(n),
also nimmt man an, dass die Aussage für ein beliebiges aber festen [mm] n\in\IN [/mm] gelte
Das heißt hier übersetzt:
IAnn: [mm] (x^{a}-1)\cdot{}\summe_{j=1}^{\red{n}-1}x^{ja}=x^{a\red{n}}-1 [/mm] für ein festes [mm] n\in\IN
[/mm]
Nun muss man zeigen, dass dann auch gilt:
[mm] (x^{a}-1)\cdot{}\summe_{j=1}^{\red{n+1}-1}x^{ja}=x^{a(\red{n+1})}-1
[/mm]
Dazu nimmt man sich die linke Seite dieser Beh. her und versucht sie mithilfe der IAnn so umzuformen, dass man die rechte Seite rausbekommt
[mm] (x^{a}-1)\cdot{}\summe_{j=1}^{\red{n+1}-1}x^{ja}=(x^{a}-1)\cdot{}\summe_{j=1}^{n}x^{ja}
[/mm]
[mm] =(x^{a}-1)\cdot{}\left[\summe_{j=1}^{n-1}x^{ja}+x^{na}\right] [/mm] Hier habe ich den letzten Summanden der Summe einfach dahinter geschrieben und die Summe läuft dementsprechend einen Schritt weniger weit.
Nun das Distributivgesetz anwenden
[mm] =\underbrace{(x^{a}-1)\cdot{}\summe_{j=1}^{n-1}x^{ja}}_{=x^{na}-1 nach IAnn}+(x^{a}-1)x^{na} [/mm] und den Rest wie im obigen post
Hoffe, das hilft weiter
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 So 18.03.2007 | | Autor: | Wishi |
Okay... ich habe es verstanden und sage herzlichen Dank für Deine Mühlen... ich wollte die ganze Zeit die Annahme beweisen...
Echt mal Danke :)
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
