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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Naffel |
| Aufgabe | Führen Sie eine vollständige Induktion durch.
[mm] 1^{2}+3^{2}+...+(2n-1)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n(2n-1)(2n+1)}{3} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hänge grade bei dieser vollständigen Induktion. Der Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung ist kein Problem. Der Induktionsschluss bereitet mir Probleme. Auf der linken Seite hätte ich:
[mm] 1^{2}+3^{2}+...+(2(n+1)-1)^{2}
[/mm]
was somit ergibt:
[mm] 1^{2}+3^{2}+...+(2n+1)^{2}
[/mm]
Nun komme ich nicht weiter. Normalerweise muss ich dieses ja jetzt mit dem rechten Teil gleichsetzen, aber das geht ja nicht. Ich hoffe es kann mir Jemand helfen.
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Hallo,
> Führen Sie eine vollständige Induktion durch.
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> [mm]1^{2}+3^{2}+...+(2n-1)^{2}[/mm] = [mm]\bruch{n(2n-1)(2n+1)}{3}[/mm]
> Hallo zusammen,
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> ich hänge grade bei dieser vollständigen Induktion. Der
> Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung ist kein
> Problem. Der Induktionsschluss bereitet mir Probleme. Auf
> der linken Seite hätte ich:
>
> [mm]1^{2}+3^{2}+...+(2(n+1)-1)^{2}[/mm]
>
> was somit ergibt:
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> [mm]1^{2}+3^{2}+...+(2n+1)^{2}[/mm]
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> Nun komme ich nicht weiter. Normalerweise muss ich dieses
> ja jetzt mit dem rechten Teil gleichsetzen, aber das geht
> ja nicht. Ich hoffe es kann mir Jemand helfen.
Nein, so stimmt das nicht: Du mußt zeigen, daß unter der Annahme [mm]1^2 +3^2 +\ldots +(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}[/mm] folgt [mm]1^2 +3^2 +\ldots +(2(n+1)-1)^2 =\frac{(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}{3}[/mm]. Du könntest z.B. auf beiden Seiten [mm] $(2n+1)^2$ [/mm] addieren...
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Naffel |
Hallo zahlenspieler,
vielen Dank für Deine Antwort. Allerdings komme ich trotzdem nicht weiter. Wie bekomme ich auf der linken Seite denn die Punkte weg?
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Hallo Naffel,
ich versuche mal, dir den Induktionsschritt von n nach n+1 zu erklären:
Also [mm] n\rightarrow [/mm] n+1
Nimm ein beliebiges, aber festes [mm] n\in\IN [/mm] und nimm an, dass die Behauptung für dieses n gilt, dass also
[mm] 1^2+3^2+....+(2n-1)^2=\bruch{n(2n-1)(2n+1)}{3} [/mm] gilt (Induktionsvoraussetzung)
Du musst nun im Induktionsschritt zeigen, dass dann die Behautung auch für n+1 gilt, dass also
[mm] 1^2+3^2+....+(2(n+1)-1)^2=\bruch{(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}{3} [/mm] gilt
Also: [mm] 1^2+3^2+.....+(2(n+1)-1)^2=1^2+3^2+....+(2n+1)^2 [/mm]
Nun schreibe mal den vorletzten Summanden dieser Summe dazu:
[mm] =1^2+3^2+.....+(2n-1)^2+(2n+1)^2
[/mm]
[mm] =(1^2+3^2+....+(2n-1)^2) [/mm] + [mm] (2n+1)^2
[/mm]
So hier kannst du die Induktionsvoraussetzung verwenden
[mm] =\bruch{n(2n-1)(2n+1)}{3} [/mm] + [mm] (2n+1)^2
[/mm]
Nun diesen Term weiter bearbeiten:
[mm] =\bruch{n(2n-1)(2n+1)+3*(2n+1)^2}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n+1)[n(2n-1)+3*(2n+1)]}{3}=\bruch{(2n+1)(2n^2+5n+6)}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n+1)(n+1)(2n+3)}{3}=\bruch{(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}{3}
[/mm]
Und genau das soll rauskommen ;)
Gruß
schachuzipus
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