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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 28.01.2007 | | Autor: | izalco |
| Aufgabe | Es ist zu beweisen, dass
$ [mm] a_{n}:=11^n^+^1+12^2^-^1 [/mm] $
teilbar durch 133 ist, wobei $ n [mm] \in \IN [/mm] $ |
Induktionsanfang ist erfolgreich mit $ n=1 $
Ich hab den Beweis anschließend durchgerechnet und komme am Ende auf
$ [mm] a_{n}:=11*(11^n^+^1+12^2^-^1)+12^2^-^1*133 [/mm] $
wovon
$ [mm] (11^n^+^1+12^2^n^-^1) [/mm] $ laut Induktionsannahme durch 133 teilbar ist und
$ [mm] 12^2^n^-^1\cdot{}133 [/mm] $ demnach ebenso durch 133 teilbar sein muss, weil der vorherige Ausdruck auch durch 133 teilbar ist und als Summe beide Summanden ebenso durch 133 teilbar sein müssen (ist die Begründung so einwandfrei??). Die Multiplikation mit 133 am Ende ändert schließlich nichts an der Teilbarkeit durch 133.
Bleibt nun noch die 11 zu Beginn übrig? Ich will nicht verstehen, warum der Beweis an hier zu Ende und erfolgreich ist - denn 11 ist wohl nicht durch 133 teilbar!?
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dankeschön für Eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 So 28.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi izalco,
> Es ist zu beweisen, dass
>
> [mm]a_{n}:=11^n^+^1+12^2^-^1[/mm]
>
> teilbar durch 133 ist, wobei [mm]n \in \IN[/mm]
> Induktionsanfang
> ist erfolgreich mit [mm]n=1[/mm]
>
> Ich hab den Beweis anschließend durchgerechnet und komme am
> Ende auf
>
> [mm]a_{n}:=11*(11^n^+^1+12^2^-^1)+12^2^-^1*133[/mm]
>
Ich nehme an du meinst (auch in der Aufgabenstellung)
[mm] a_{n}:=11*(11^{n+1}+12^{2n-1})+12^{2n-1}*133
[/mm]
wenn [mm] (11^{n+1}+12^{2n-1}) [/mm] durch 133 teilbar ist (das ist die Induktionsannahme), dann ist auch [mm] 11*(11^{n+1}+12^{2n-1}) [/mm] durch 133 teilbar. Damit ein Produkt durch eine Zahl teilbar ist, muss nicht jeder Faktor durch sie teilbar sein, sondern nur mindestens einer.
Aus demselben Grund ist auch [mm] 12^{2n-1}*133 [/mm] durch 133 teilbar (,weil 133 durch 133 teilbar ist).
Und wenn alle Summanden einer Summe durch dieselbe Zahl teilbar sind, so ist auch die Summe selbst durch diese Zahl teilbar.
Alles klar?
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 So 28.01.2007 | | Autor: | izalco |
aua, das war einfach.
Eine Frage noch Walde: von welcher Universtität kommst du?
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