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| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] und für 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] 1 gilt:
[mm] (1-a)^n \le \br{1}{1+na}
[/mm]
Beweise diese Ungleichung mit Hilfe der vollständigen Induktion. |
Hallo! In meinen vorherigen Diskussionen musste ich noch einfache Gleichungen beweisen. Nach leichten Anfangsschwierigkeiten habe ich das auch einigermaßen begriffen.
Nun meine Frage:
Wie mache ich das mit dieser Ungleichung?
Es wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte.
Danke
Mit freundlichen Grüßen
Harrypotter
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Hallo Harrypotter
ich nehme an, dass es bei dir im Induktionsschritt hängt.
Also versuchen wir mal den LUMOS ;)
Du hast als Induktionsvoraussetzung [mm] (1-a)^n\le\bruch{1}{1+na} [/mm] für ein beliebiges, aber festes [mm] n\in\IN
[/mm]
Dann sollst du im Induktionsschritt zeigen, dass dann auch [mm] (1-a)^{n+1}\le\bruch{1}{1+(n+1)a} [/mm] gilt
Also: [mm] (1-a)^{n+1}=(1-a)(1-a)^n\le (1-a)\bruch{1}{1+na} [/mm] nach Induktionsvoraussetung
[mm] =\bruch{a-1}{1+na} [/mm] Nun Erweitern mit (1+(n+1)a), denn das soll ja im Nenner auftauchen
[mm] =\bruch{(a-1)(1+(n+1)a)}{(1+na)(1+(n+1)a)} [/mm] Nun Ausmultiplizieren und zusammenfassen
[mm] =\bruch{(1+na)-(n+1)a^2}{(1+na)(1+(n+1)a)}
[/mm]
[mm] \le\bruch{1+na}{(1+na)(1+(n+1)a)}, [/mm] denn (n+1) und [mm] a^2\ge [/mm] 0, also [mm] -(n+1)a^2\le [/mm] 0
(Wenn man in einem Bruch den Zähler vergrößert, vergrößert sich der ganze Bruch)
[mm] =\bruch{1}{1+(n+1)a}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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