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| Aufgabe | 1.) Für alle n,k [mm] \in \IN_{0} [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] k gilt:
[mm] \summe_{m=k}^{n} \vektor{m \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
2.) Für alle N [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{2N} \bruch{(-1)^{n-1}}{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{N} \bruch{1}{N + n} [/mm] |
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Hallo erstmal!
Ich habe mit den obenstehenden Aufgaben gehörig Probleme.
Mit der vollständigen Induktion als Methode bin ich an sich vertraut, jedoch bekomme ich bei diesen zwei Aufgaben nicht einmal annähernd auf einen Ansatz, insbesondere der Aufgabentypus mit den Summenzeichen auf beiden Seiten der Gleichung ist mir völlig unbekannt.
Es wäre toll, wenn mir jemand mit dem Ansatz helfen könnte.
Vielen Dank schon mal im Voraus und noch einen schönen Abend...
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Ich zeige Dir mal Aufgabe 2), vielleicht hilft das ja über die Schwierigkeiten mit der Summe hinweg.
Den Induktionsanfang bekommst Du sicherlich selber hin. Interessant wird es erst im Induktionsschritt von N nach N+1. Hierzu sei notiert:
[mm] \sum_{n=1}^{2(N+1)} \frac{(-1)^{n-1}}{n}
[/mm]
= [mm] \sum_{n=1}^{2N} \frac{(-1)^{n-1}}{n} [/mm] + [mm] \frac{1}{2N+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{2N+2}
[/mm]
= [mm] \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{N+n} [/mm] + [mm] \frac{1}{2N+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{2N+2}
[/mm]
= [mm] \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{N+1+n} [/mm] + [mm] \frac{1}{N+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{N+1+N} [/mm] - [mm] \frac{1}{2(N+1)}
[/mm]
= [mm] \sum_{n=1}{N+1} \frac{1}{N+1+n}
[/mm]
was ja schließlich zu zeigen war. Man spielt also im wesentlichen ein wenig mit der Summe herum.
Hoffe, das hilft.
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