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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Sa 28.10.2006 | | Autor: | mistalan |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich soll durch vollständige Induktion beweisen, dass
[mm]
\sum_{j=1}^{n} (2j-1) = n^2
[/mm]
ist.
Mein Lösungsansatz lautet:
I) IA:
[mm]
n=1: 2*1-1=1^1
[/mm]
II) IS:
[mm]
1+3+...+2n-1 = n^2 [/mm] (IV)
[mm]
1+3+...+2n-1+2n = (n+1)^2
[/mm]
[mm]
n^2+2n = n^2 +2n +1 [/mm] (??)
Der letzte Schritt scheint ja falsch zu sein, aber ich weiß nicht wie es anders gehen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben, wo mein Denkfehler ist ?
Danke und Gruß,
Alex
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> ich soll durch vollständige Induktion beweisen, dass
> [mm]\sum_{j=1}^{n} (2j-1) = n^2
[/mm]
>
> ist.
> Mein Lösungsansatz lautet:
>
>
> I) IA:
> [mm]
n=1: 2*1-1=1^1
[/mm]
> II) IS:
> [mm]
Es gelte 1+3+...+2n-1 = n^2[/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] (IV)
> zu zeigen ist [mm]
1+3+...+2n-1+2n = (n+1)^2 für alle n \in \IN
[/mm]
Es ist
[mm] \sum_{j=1}^{n+1} (2j-1) [/mm]
=[mm] \sum_{j=1}^{n} (2j-1) [/mm] + (2(n+1)-1),
womit dein Problem geklärt sein dürfte.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Sa 28.10.2006 | | Autor: | mistalan |
Ok, habe es jetzt verstanden. Vielen Dank für die schnelle Hilfe :)
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| Aufgabe | | Die summe der ersten n ungeraden Zahlen ist eine Quadratzahl |
Hallo,
entschuldigt dass ich diese Frage nochmal hochhole. Habe sie erstmal gerechnet ohne in meine Unterlagen zu gucken, und bin auf auch auf obige Lösung gekommen. Ich war stolz die Aufgabe gelöst zu haben sehe dann aber in den Unterlagen, dass ich die ungeraden Zahlen mit 2k+1 bestimmen soll (Vorgabe vom Tutor (auch per mail bestätigt) - auf dem übungsblatt steht davon nichts): müste jetzt mit n=0 anfangen, sonst würde ich die 1 übergehen!
auf die 1 komme ich also über 2*0+1!
Habe jetzt das Problem [mm] 0^2 [/mm] nicht gleich 1 ist!
Stehe irgenwie auf dem Schlauch!
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Hallo lumberjack!
Zum einen ist die [mm] $0_4 [/mm] doch auch eine Quadratzahl, so dass die Forderung erfüllt ist.
Oder Du führst den Nachweis mit $2*k \ [mm] \red{-} [/mm] \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Das mit dem 2k-1 ist nicht das Problem! Das will der Tutor aber nicht haben.
Die Aufgabe ist ja:
[mm] \summe_{i=1}^{n}2i+1 [/mm] = [mm] n^2
[/mm]
bei n=0
[mm] \summe_{i=1}^{0}2i+1 [/mm] = 2*0+1 = 1 = [mm] 0^2
[/mm]
kriege ich doch ein Problem!
Immer noch auf dem Schlauch steh...
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Hallo lumberjack,
wenn du die Darstellung der ungeraden Zahle zu 2k+1 abänderst, musst du auch dementsprechend auch die rechte Seite der Behauptung abändern:
zu zeigen ist: [mm] $\forall n\in\IN_0 [/mm] : [mm] \sum\limits_{k=0}^n(2k+1)=(n+1)^2$
[/mm]
Damit kommste eher hin 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Di 13.11.2007 | | Autor: | lumberjack |
Ohje... 
Danke, so geht es natürlich!
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