Vollständige Induktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Di 17.10.2006 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
ich habe eine Frage zum Beweis mit der Vollständigen Induktion.
wenn ich z.B. beweisen will das:
1²+2²+3³+.....n²=n(n+1)(2n+1) / 6
muss ich doch immer bei einer vollständigen indultion wie folgt vorgehen:
1. Induktionsanfang
A(1): 1= 1*(1+1) (2+1) / 6 ist wahr
2. Induktionsvorraussetzung A(n)
A(n): 1²+2²+3³+.....n²= n(n+1)(2n+1) / 6
3. Induktionsbehauptung A(n+1)
A(n+1): 1²+2²+3³+.....n²+(n+1) = n+1(n+2)(2n+2)/6
4. Induktionsbeweis
Jetzt muss ich doch von 3. irgendwie auf 4. kommen damit gilt
A(n) => A(n+1)
Jetzt beginnt genau mein Problem ich weiss nicht genau wie ich die herleitung machen soll.
Gruß
Tobi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Di 17.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Tobi,
ich mach den Induktionsschritt,
[mm] A(n+1)=A(n)+(n+1)^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\bruch{n+1}{6}[n(2n+1)+6(n+1)]=\bruch{n+1}{6}[2n^2+n+6n+6]
[/mm]
also [mm] A(n+1)=\bruch{n+1}{6}[2n^2+7n+6]=\bruch{n+1}{6}(n+2)(2n+3)
[/mm]
Damit ist alles bewiesen
mg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Di 17.10.2006 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo Ulli,
danke für die schnelle Antwort. Mir ist jedoch leider noch einiges unklar, kannst du bitte den ersten sowie den zweiten Umformungsschritt erklrären.
Warum ist die ganze Induktion eigentlich gültig, weil da (n+2) was vergeleichbar mit (n+1) steht oder warum. Auf wann ist die Induktion allgemein bewiesen?
Gruß
Tobi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Di 17.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Tobi,
1. Schritt
[mm] A(n+1)=A(n)+(n+1)^2 [/mm] (Definition deiner Summe)
2. Schritt
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 [/mm] (Einsetzten der Induktionsvoraussetzung für A(n) plus der letzte Term)
3. Schritt
[mm] \bruch{n+1}{6}[n(2n+1)+6(n+1)] [/mm] (Ausklammern von [mm] \bruch{n+1}{6})
[/mm]
4. Schritt
[mm] \bruch{n+1}{6}[2n^2+n+6n+6] [/mm] (Ausmultiplizieren)
5. Schritt
also [mm] A(n+1)=\bruch{n+1}{6}[2n^2+7n+6] [/mm] (Zusammenfassen des letzten Terms)
6. Schritt
[mm] \bruch{n+1}{6}(n+2)(2n+3) [/mm] (Umformen des letzten Terms)
Gültig ist die Induktion aus folgendem Grund:
Für A(n) soll gelten
[mm] A(n)=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] also muss für
[mm] A(n+1)=\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}=\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] gelten
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Di 17.10.2006 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo ullim,
zum 3. Schritt sind sie durch das ausklammern von n+1/6 gekommen.
Aber wenn ich diesen Schritt zurück ausmultipliziere, dann komme ich doch auf
n² da (n+1*n...) oder nicht?
Sonst ist alles weitere klar
MFG
Timon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Di 17.10.2006 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
habe noch eine zweite Frage die Umformung unter Schritt 6. ist mir auch nicht so ganz klar wie man von [2n²+7n+6] auf (n+2)(2n+3) kommt.
Mfg
Tobi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Di 17.10.2006 | | Autor: | ullim |
> Hallo,
>
> habe noch eine zweite Frage die Umformung unter Schritt 6.
> ist mir auch nicht so ganz klar wie man von [2n²+7n+6] auf
> (n+2)(2n+3) kommt.
>
einfach durch ausmultiplizieren bestätigen
> Mfg
>
> Tobi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Di 17.10.2006 | | Autor: | ullim |
> Hallo ullim,
>
> zum 3. Schritt sind sie durch das ausklammern von n+1/6
> gekommen.
Ich habe [mm] \bruch{n+1}{6} [/mm] ausgeklammert und nicht [mm] n+\bruch{1}{6}, [/mm] hilft das weiter?
> Aber wenn ich diesen Schritt zurück ausmultipliziere, dann
> komme ich doch auf
> n² da (n+1*n...) oder nicht?
>
> Sonst ist alles weitere klar
>
> MFG
>
> Timon
mfg ullim
|
|
|
|
