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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion.
[mm] 1 + a + a^{2} + ... + a^{n} < \bruch{1}{1-a} [/mm]für[mm] 0 < a < 1\;und\;alle\;n \in \IN* [/mm] |
Hallo ihr,
da ich mit drei meiner Mitschüler nicht mit auf unsere Studienfahrt gegangen bin, haben wir von unserem Mathelehrer aufgetragen bekommen, das Thema der vollständigen Induktion in einer Woche der Klasse vorzutragen. Das bedeutet, dass wir keinerlei Umgang mit der Materie haben. Von unserem Lehrer werden wir mehr oder weniger alleine mit dem Thema gelassen und wenn er helfen will, dann haben wir nicht den Eindruck, er würde auf uns eingehen: "Das ist doch alles ganz einfach. Da muss man nur ein wenig denken".
Unser Problem ist, dass wir die v. Induktion mit einer Ungleichung und Summenformel getrennt verstanden haben und auch anwenden können, aber jetzt nicht wissen, wie wir das in dieser Aufgabe anwenden sollen.
(I) Induktionsanfang:
für [mm] n=1:[/mm]
[mm] \begin{matrix}
a&<&\bruch{1}{1-a} \\
a(1-a)&<&1
\end{matrix} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] wahre Aussage, da 0 < a < 1
(II) Induktionsschritt:
Ann.: [mm] 1 + a + a^{2} + ... + a^{k} < \bruch{1}{1-a} ; k \in \IN* [/mm]
z.z.: [mm] 1 + a + a^{2} + ... + a^{k} + a^{k+1}< \bruch{1}{1-a} [/mm]
Wenn in der Annahme-Zeile ein "=" wäre, dann könnte man jetzt [mm] 1 + a + a^{2} + ... + a^{k}[/mm] durch [mm] \bruch{1}{1-a} [/mm] ersetzen, aber so? Ich würde gerne mehr Lösungsansätze posten, aber dieses Thema fällt uns wirklich ziemlich schwer.
Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Vertex |
Hallöchen,
ich will versuchen dir einen Lösungsvorschlag zu machen.
Die Folge:
1 + a + [mm] a^{2}+...+a^{n} [/mm] = [mm] a^{0}+a^{1}+a^{2}+...+a^{n}
[/mm]
wird auch eine "endliche geometrische Reihe" genannt.
Da es sich um ein aufaddieren handelt, kann man das natürlich auch per Summenzeichen darstellen.
In der Form:
[mm] \summe_{i=0}^{n} a^{i}
[/mm]
Zu beweisen sei, das für alle 0 < a < 1 und n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{n} a^{i} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1-a}
[/mm]
Hier ergibt sich das erste kleine Problem. Es soll gelten: alle n [mm] \in \IN [/mm]
In obiger Summe wollen wir aber von i=0 starten und [mm] \IN [/mm] enthält die 0 nicht standardmäßig. Das Problem lösen wir, indem wir die untere Summationsgrenze einfach auf 1 anheben und den Term [mm] a^{0} [/mm] = 1 aus der Summe herausziehen.
Wir bekommen also:
1+ [mm] \summe_{i=1}^{n} a^{i} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1-a} [/mm] (**)
Der Induktionsanfang mit n=1
1+ [mm] \summe_{i=1}^{1} a^{i} [/mm] = [mm] a^{1} [/mm] = a
Wegen 0<a<1 gilt
a < [mm] \bruch{1}{1-a} [/mm] ist eine wahre Aussage
Induktionsschritt von n=1 auf n+1 für alle n [mm] \in \IN, [/mm] es gelte die Induktionsannahme (**).
1+ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a^{i} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1-a}
[/mm]
Nebenrechnung:
Jetzt kommt ein Schritt, den man im Zusammenhang mit der geometrischen Reihe "einfach wissen muss" damit man darauf kommt. Es gilt nämlich für alle a [mm] \not= [/mm] 1 und alle n [mm] \in \IN^{0} [/mm] folgender Zusammenhang:
[mm] \summe_{i=0}^{n} a^{i} [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{n+1}}{1-a}
[/mm]
alle a [mm] \not= [/mm] 1 gilt für uns eh schon (0<a<1, also [mm] a\not=1 [/mm] trifft zu), alle n [mm] \in \IN^{0} [/mm] basteln wir uns wie oben wieder zurecht. So kommen wir auf:
1+ [mm] \summe_{i=1}^{n} a^{i} [/mm] = [mm] \bruch{1-a^{n+1}}{1-a}
[/mm]
Ferner gilt:
1+ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a^{i} =\bruch{1-a^{n+2}}{1-a}
[/mm]
Das kann man relativ bequem mittels vollständiger Induktion beweisen.
Genau den linken Teil der Gleichung haben wir auch oben in unserem Beweis stehen und das werden wir jetzt verwenden.
Aus
1+ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a^{i} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1-a}
[/mm]
wird
[mm] \bruch{1-a^{n+2}}{1-a} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1-a}
[/mm]
das entspricht
[mm] 1-a^{n+2}<1
[/mm]
q.e.d
Ich hoffe das haut so hin und hilft euch weiter.
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Dankeschön für die Lösung. Ich habe mir das Buch geholt, was durch unser neues abgelöst wurde und dort werden ausdrücklich diese beiden Formeln (geometrische + arithmetrische Folge) erwähnt (was bei unserem nicht der Fall ist).
im Übrigen lernen wir, dass 0 standardmäßig in der Menge [mm] \IN [/mm] enthalten ist. Wenn wir 0 von [mm] \IN [/mm] ausschließen wollen, dann sprechen wir von [mm] \IN [/mm] *.
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