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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Alex999H |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 1 gilt:
[mm] \bruch{1}{2n} \le \bruch{1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)}{2 * 4 * 6 * ... * (2n)} \le \bruch{1}{\wurzel{n + 1}}
[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie zwei Schritte, einen für jede der beiden Ungleichungen. |
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Hallo,
Wie geht man hier am besten vor? ich kann zwar [mm] \bruch{1}{2n + 2} [/mm] beim Induktionsschritt bilden, aber irgendwie hilft mir das nicht viel weiter.
Schonmal danke für eure Hilfe,
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mo 08.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Hier hast du zwei Aufgaben zu lösen, erstmal die erste Ungleichung und dann die zweite beweisen. Bei der ersten ist dei I.Voraussetzung:
[mm] \bruch{1}{2n}\le\bruch{1*...*(2n-1)}{2*...*(2n)}.
[/mm]
Anhand dieser Ungleichung ist zu zeigen, dass:
[mm] \bruch{1}{2n+2}\le\bruch{1*...*(2n+1)}{2*...*(2n+2)} \gdw
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2n+2}\le\bruch{1*...*(2n-1)}{2*...*(2n)}*\bruch{2n+1}{2n+2} \gdw
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2n+1}\le\bruch{1*...*(2n-1)}{2*...*(2n)}.
[/mm]
Damit ist die Sache eigentlich bewiesen.
Gruß,
dormant
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