Vollständige Induktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich wollte das mittels Vollständiger Induktion beweisen, bei dem Beweis stocke ich aber gerade (das davor is ja easy, hab ich alles...):
[mm] (1+x)^{n+1} [/mm] = [mm] (1+x)^{n} [/mm] (1+x) > [mm] \bruch{n²}{4} [/mm] x² (1+x) = [mm] \bruch{n²}{4} [/mm] x² + [mm] \bruch{n²}{4} [/mm] x³ ...?
Aber mit binomischer Lehrsatz, das muss dann wohl anders gehen... oder?
Vielen Dank schon mal im Vorraus!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Sa 18.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
hab mal das Bild mit in die Aufgabe genommen - auch wenn dort ein wenig viel White-Space ist, so sieht wenigstens jeder sofort, worum es geht.
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Sa 18.03.2006 | | Autor: | felixf |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich wollte das mittels Vollständiger Induktion beweisen,
> bei dem Beweis stocke ich aber gerade (das davor is ja
> easy, hab ich alles...):
>
> [mm](1+x)^{n+1}[/mm] = [mm](1+x)^{n}[/mm] (1+x) > [mm]\bruch{n²}{4}[/mm] x² (1+x) =
> [mm]\bruch{n²}{4}[/mm] x² + [mm]\bruch{n²}{4}[/mm] x³ ...?
Ich glaube nicht das du hiermit zum Ziel kommst...
> Aber mit binomischer Lehrsatz, das muss dann wohl anders
> gehen... oder?
Ja, damit ist es wirklich sehr einfach  Wende ihn doch einfach mal auf $(1 + [mm] x)^n$ [/mm] an und lass ein paar der Summanden weg (damit schaetzt du ab).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Jette87 |
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > Ich wollte das mittels Vollständiger Induktion
> beweisen,
> > bei dem Beweis stocke ich aber gerade (das davor is ja
> > easy, hab ich alles...):
> >
> > [mm](1+x)^{n+1}[/mm] = [mm](1+x)^{n}[/mm] (1+x) > [mm]\bruch{n²}{4}[/mm] x² (1+x) =
> > [mm]\bruch{n²}{4}[/mm] x² + [mm]\bruch{n²}{4}[/mm] x³ ...?
>
> Ich glaube nicht das du hiermit zum Ziel kommst...
>
> > Aber mit binomischer Lehrsatz, das muss dann wohl anders
> > gehen... oder?
>
> Ja, damit ist es wirklich sehr einfach Wende ihn doch
> einfach mal auf [mm](1 + x)^n[/mm] an und lass ein paar der
> Summanden weg (damit schaetzt du ab).
>
> LG Felix
>
Wie damit schätze ich ab? Einfach weglassen?
Nee das geht nicht, einfach was weglassen ist nicht mathematisch.
Also ich habe jetzt einfach [mm] (1+x)^{n+1} [/mm] umgeschrieben in [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}a^{n+1-k}b^{k}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}a^{n-k}b^{k} [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ k}a^{n+1-k}b^{k} [/mm] > [mm] \bruch{n²}{4} [/mm] * x² + [mm] \vektor{n+1 \\ k}1^{n+1-k}x^{k}
[/mm]
damit komme ich aber auch nicht weiter, weil ich da bestimmt etwas vergessen oder einen Fehler gemacht habe!
Danke nochmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jette!
Doch: weglassen ist ganz okay, wenn klar ist dass diese "Weggelassene" positiv ist und man nach unten abschätzen möchte (es steht ja anschließend immer hin dort ein [mm] $\red{>}$ [/mm] ).
[mm] $(1+x)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1^k*x^{n-k} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Sa 18.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Doch: weglassen ist ganz okay, wenn klar ist dass diese
> "Weggelassene" positiv ist und man nach unten abschätzen
> möchte (es steht ja anschließend immer hin dort ein [mm]\red{>}[/mm]
> ).
>
> [mm](1+x)^n \ = \ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1^k*x^{n-k} \ = \ ...[/mm]
Hier kommt es zwar aufs gleiche Hinaus, aber bei sowas wie $(1 + [mm] x)^n$ [/mm] ist es etwas geschickter, dies als [mm] $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} x^k$ [/mm] zu schreiben!
Und Jette: Lass das mit der Induktion sein, damit machst du die Aufgabe nur komplizierter, das geht direkt (ohne Induktion) wirklich sehr einfach!
Und davon mal abgesehen: Das was du im Induktionsschritt gerechnet hast ist ziemlich falsch: [mm] $\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^{n+1-k} b^k$ [/mm] ist im Allgemeinen nicht [mm] $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k [/mm] + [mm] \binom{n+1}{k} a^{n+1-k} b^k$, [/mm] allein schon deswegen weil in dem herausgeholten Summanden noch ein $k$ auftaucht und weil die uebrigbleibende Summe nicht viel mit der anderen Summe zu tun hat (andere Binomialkoeffizienten, andere Potenzen von $a$)!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Jette87 |
> Hallo!
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> > Doch: weglassen ist ganz okay, wenn klar ist dass diese
> > "Weggelassene" positiv ist und man nach unten abschätzen
> > möchte (es steht ja anschließend immer hin dort ein [mm]\red{>}[/mm]
> > ).
> >
> > [mm](1+x)^n \ = \ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1^k*x^{n-k} \ = \ ...[/mm]
>
> Hier kommt es zwar aufs gleiche Hinaus, aber bei sowas wie
> [mm](1 + x)^n[/mm] ist es etwas geschickter, dies als [mm]\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} x^k[/mm]
> zu schreiben!
>
> Und Jette: Lass das mit der Induktion sein, damit machst du
> die Aufgabe nur komplizierter, das geht direkt (ohne
> Induktion) wirklich sehr einfach!
>
> Und davon mal abgesehen: Das was du im Induktionsschritt
> gerechnet hast ist ziemlich falsch: [mm]\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^{n+1-k} b^k[/mm]
> ist im Allgemeinen nicht [mm]\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k + \binom{n+1}{k} a^{n+1-k} b^k[/mm],
> allein schon deswegen weil in dem herausgeholten Summanden
> noch ein [mm]k[/mm] auftaucht und weil die uebrigbleibende Summe
> nicht viel mit der anderen Summe zu tun hat (andere
> Binomialkoeffizienten, andere Potenzen von [mm]a[/mm])!
>
> LG Felix
>
> Hier kommt es zwar aufs gleiche Hinaus, aber bei sowas wie
> [mm](1 + x)^n[/mm] ist es etwas geschickter, dies als [mm]\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} x^k[/mm]
> zu schreiben!
Gut, aber was mach ich damit? Das ergibt für mich nicht die rechte Seite und ich wüsste dann auch nicht, wie man das damit rausbekommt...
Danke nochmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 18.03.2006 | | Autor: | felixf |
> > Hier kommt es zwar aufs gleiche Hinaus, aber bei sowas wie
> > [mm](1 + x)^n[/mm] ist es etwas geschickter, dies als [mm]\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} x^k[/mm]
> > zu schreiben!
>
> Gut, aber was mach ich damit? Das ergibt für mich nicht die
> rechte Seite und ich wüsste dann auch nicht, wie man das
> damit rausbekommt...
Abschaetzen! Das hatten wir doch schon... Die Summanden sind alle [mm] $\ge [/mm] 0$, womit du sie weglassen kannst und damit die Summe nach unten abschaetzt (da mindestens einer sogar $> 0$ ist, naemlich der fuer $k = 0$, ist es sogar eine echte Abschaetzung). Jetzt lass doch mal alle weg bis auf den Summenden indem [mm] $x^2$ [/mm] vorkommt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Jette87 |
> > > Hier kommt es zwar aufs gleiche Hinaus, aber bei sowas wie
> > > [mm](1 + x)^n[/mm] ist es etwas geschickter, dies als [mm]\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} x^k[/mm]
> > > zu schreiben!
> >
> > Gut, aber was mach ich damit? Das ergibt für mich nicht die
> > rechte Seite und ich wüsste dann auch nicht, wie man das
> > damit rausbekommt...
>
> Abschaetzen! Das hatten wir doch schon... Die Summanden
> sind alle [mm]\ge 0[/mm], womit du sie weglassen kannst und damit
> die Summe nach unten abschaetzt (da mindestens einer sogar
> [mm]> 0[/mm] ist, naemlich der fuer [mm]k = 0[/mm], ist es sogar eine echte
> Abschaetzung). Jetzt lass doch mal alle weg bis auf den
> Summenden indem [mm]x^2[/mm] vorkommt.
>
> LG Felix
>
Und das würde ich einfach so hinschreiben, dass ich abschätze? (ich kenne das nämlich nicht...) und das ich dann alles > 0 habe... also sieht mir nicht wirklich mathematisch aus, jedenfalls könnte ich das nicht mathematisch aufschreiben... naja...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Jette87 |
ok danke!
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, und dazwischen steht ein ">". Klarer?
