Vollständige Induktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo,
erstmal vielen Dank an alle, die mir geholfen haben zu verstehen
[mm] \vektor{n\\k} [/mm] und was damit zusammenhängt.
Das kann ich jetzt einigermaßen nachvollziehen...
Neue Herausforderung:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{m+k\\k} [/mm] = [mm] \vektor{m+n+1\\n}
[/mm]
gehe ich bei dieser Aufgabe auch so vor?
Mein Versuch:
[mm] \summe_{k=0}^{0} [/mm] = [mm] \underbrace{\vektor{m+0\\0}}_{k=0} [/mm] + [mm] \underbrace{\vektor{m+1\\1}}_{k=1}
[/mm]
Setze ich dann für m+k was ja normalerweise mein n ist einfach 0 ein?
Oder wo stecke ich das n hin? Oder nehme ich dann einfach davon ausgehend an, das die Annahme damit bewiesen ist? Brauch ich nicht
aber noch ein Zwischenschritt?
Liebe Grüße
Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderen Forum gestellt.
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Hallo!
Ich bin mir gerade nicht so ganz sicher, ob ich nur nicht verstehe, was du meinst, oder ob du da noch etwas falsch verstehst. Aber ich versuche mal, es dir zu erklären. 
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{m+k\\k}[/mm] = [mm]\vektor{m+n+1\\n}[/mm]
>
> gehe ich bei dieser Aufgabe auch so vor?
>
> Mein Versuch:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{0}[/mm] = [mm]\underbrace{\vektor{m+0\\0}}_{k=0}[/mm] +
> [mm]\underbrace{\vektor{m+1\\1}}_{k=1}[/mm]
>
> Setze ich dann für m+k was ja normalerweise mein n ist
> einfach 0 ein?
> Oder wo stecke ich das n hin? Oder nehme ich dann einfach
> davon ausgehend an, das die Annahme damit bewiesen ist?
> Brauch ich nicht
> aber noch ein Zwischenschritt?
Ich vermute, du willst vollständige Induktion machen. Dafür benötigst du einen Induktionsanfang, nämlich n=0. Dann steht links in der Summe nur noch der Summand für k=0, also steht links: [mm] \vektor{m+0\\0} [/mm] und das ist =1. Auf der rechten Seite steht dann [mm] \vektor{m+0+1\\0} [/mm] und das ist ebenfalls =1, also stimmt der Indukionsanfang.
Im Induktionsschritt musst du zeigen, dass die Aussage nicht nur für n sondern auch für n+1 gilt (woraus dann ja folgt, dass sie für alle "Zahlen" gilt). Also musst du folgendes zeigen:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\vektor{m+k\\k}=\vektor{m+(n+1)+1\\n+1}
[/mm]
Nun gilt für die linke Seite:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\vektor{m+k\\k}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{m+k\\k}+\underbrace{\vektor{m+(n+1)\\n+1}}_{(n+1)ter Summand}
[/mm]
Auf den linken Teil kannst du nun die Induktionsvoraussetzung anwenden, und dann musst du das ganze vielleicht noch ein bisschen umformen, so dass da die rechte Seite bei herauskommt.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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