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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:02 Mi 09.11.2005 | | Autor: | LeoLas |
Hallo an alle Mathematiker!
ich brauch mal ein paar tipps, wie ich an folgenden beweis herangehen soll:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k \cdot{}b_k [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k \cdot{}b_n [/mm] $ + $ [mm] \summe_{k=1}^{n-1} [/mm] $ $ [mm] \summe_{i=1}^{k} a_i \cdot{}(b_k [/mm] - [mm] b_k_+_1) [/mm] $
Induktions Anfang is kein prob.
und beim Beweis komme ich bis:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} a_k \cdot{}b_n [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k \cdot{}b_n [/mm] $ + $ [mm] \summe_{k=1}^{n-1} [/mm] $ $ [mm] \summe_{i=1}^{k} a_i \cdot{}(b_k [/mm] - [mm] b_k_+_1) [/mm] $ + $ [mm] (a_n_+_1) \cdot{} (b_n_+_1) [/mm] $
nun komme ich nicht richtig weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k \cdot{}b_k[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k \cdot{}b_n[/mm]
> + [mm]\summe_{k=1}^{n-1}[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{k} a_i \cdot{}(b_k - b_k_+_1)[/mm]
>
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> Induktions Anfang is kein prob.
> und beim Beweis komme ich bis:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} a_k \cdot{}b_n[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k \cdot{}b_n[/mm]
> + [mm]\summe_{k=1}^{n-1}[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{k} a_i \cdot{}(b_k - b_k_+_1)[/mm]
> + [mm](a_n_+_1) \cdot{} (b_n_+_1)[/mm]
>
> nun komme ich nicht richtig weiter.
Hallo,
aber das Ziel hast Du fest im Auge? Ich schreib' es mal auf, damit wir da schön draufgucken können.
Man will haben:...=[mm]\summe_{k=1}^{n+1} a_k \cdot{}b_{n+1}[/mm]+[mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{k} a_i \cdot{}(b_k - b_k_+_1)[/mm]
Nun machen wir da weiter, wo Du warst
[mm]\summe_{k=1}^{n} a_k \cdot{}b_n[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n-1}[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{k} a_i \cdot{}(b_k - b_k_+_1)[/mm] + [mm](a_n_+_1) \cdot{} (b_n_+_1)[/mm]
= [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k \cdot{}b_n[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n-1}[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{k} a_i \cdot{}(b_k - b_k_+_1)[/mm] + [mm](a_n_+_1) \cdot{} (b_n_+_1)[/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}a_kb_{n+1} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n}a_kb_{n+1}
[/mm]
[Ich habe da also eine etwas verschleierte Null addiert. Wer sollte einen daran hindern?]
= [mm] \summe_{k=1}^{n}a_kb_n [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n}a_kb_{n+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} \summe_{i=1}^{k}a_i(b_k-b_{k+1})+ a_{n+1}b_{n+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}a_kb_{n+1}
[/mm]
[Ich habe es Dir nun "mundgerecht" hingelegt, jetzt kannst Du weitermachen. Schwierig ist vielleicht die Sache mit der doppelten Summe. Falls Du nicht sofort durchblickst, nimm Dir ein Schmierpapier und schreib Dir die Summe aus, z.B. für n=4. Ich mache das gerne so, der Aufwand lohnt sich meist.]
Gruß v. Angela
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