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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion für n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2^{k-1}} [/mm] = [mm] 2(1-\bruch{1}{2^n}) [/mm] |
Hallo.
Ich soll eine vollständige Induktion für die oben genannte Aufgabe machen.
Die Vorgehensweise ist mir klar.
Nun habe ich jedoch ein kleines Problem.
Wenn ich [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2^{k-1}} [/mm] = [mm] 2(1-\bruch{1}{2^n}) [/mm] für n+1 umformen möchte komme ich auf folgenden Term:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2^{k-1}} [/mm] = [mm] 2(1-\bruch{1}{2^n+1})
[/mm]
Es gilt die rechte Seite umzuformen:
[mm] 2(1-\bruch{1}{2^n+1})
[/mm]
Und hier liegt mein kleines Rechenproblem:
[mm] \bruch{1}{2^n+1}= \bruch{1}{2^n*2}
[/mm]
Dieser Term: [mm] \bruch{1}{2^n*2}
[/mm]
bedeuet er:
[mm] \bruch{1}{(2^n*2)} [/mm] quasi [mm] \bruch{1}{2^n}*\bruch{1}{2} [/mm] was jedoch dann: [mm] 2^{-1} [/mm] * [mm] 2^{-n} [/mm] sein müsste = [mm] 2^{-n+(-1)}
[/mm]
oder
[mm] \bruch{1}{2^n}*2= 2^{-n}*2 =2^{-n+1} [/mm] ?
Ich bin gerade etwas verwirrt, weshalb ich lieber nochmal nachfrage, bevor mir solch ein "Fehler" in einer Klausur erscheint...
Ich denke mal, dass die erste Variante richtig ist?
Über Hilfe würde ich mich freuen.
Danke im Voraus :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mi 20.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast leider vergessen, den Exponenten in geschweifte Klammern zu setzen, was hier fatal ist.
Du meinst:
[mm] \bruch{1}{2^{(n+1)}}
[/mm]
Und das ist, mit ein wenig Umformung:
[mm] \bruch{1}{2^{(n+1)}}=\bruch{1}{2^{n}*2^{1}}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die schnelle, wie auch hilfereicher Antwort.
Das mit den geschweiften Klammern habe ich nacheditier, leider zu langsam :/.
Danke wie gesagt für die Hilfe. Das hilft wirklich ungemein.
Viele Grüße :)
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