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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mo 30.10.2006 | | Autor: | mistalan |
| Aufgabe | | Zeige: [mm] 2^n \ge n^2 \forall n \in N , n \not= 3[/mm] |
Hallo,
obige Ungleichung ist zu zeigen. Es biete sich vollst.Induktion an:
IA:
[mm]
n=4: 2^4 \ge 4^2 [/mm] stimmt
IS:
[mm]
2^{n+1} \ge (n+1)^2
2^1 * 2^n \ge 2* n^2 = n^2 + n^2
[/mm]
Bis dahin bin ich gekommen und habe es verstanden. Aber wie zeige ich jetzt, dass [mm] n^2 + n^2 \ge (n+1)^2 [/mm] ist ?
Danke und Gruß,
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo,
soweit richtig :D
Nun sollst du zeigen, dass [mm] n^2 + n^2 \ge (n+1)^2 \forall n \ge 4 [/mm]
Rechne doch mal den Term (n+1)(n+1) aus. Dann erhältst du [mm] n^2 + 2n + 1 [/mm]
Also hast du nun die Aufgabe zu zeigen: [mm] n^2 + n^2 \ge n^2 + 2n + 1 \forall n \ge 4 [/mm]
Das eine [mm] n^2 [/mm] hast du ja schon stehen. Also genügt es zu zeigen, dass [mm] n^2 \ge 2n + 1 \forall n \ge 4 [/mm]
Das kannst du jetzt auch wieder per Iduktion machen, oder dir fällt was einfacheres ein (es gibt einen einfacheren Weg) :D
Bemerkung: in deinem IA solltest du die zwei Fälle n=1 und n=2 auch noch abdecken :D
Eventuell n=0 auch, solltet ihr die 0 als natürliche Zahl ansehen...
mfG Zaed
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mo 30.10.2006 | | Autor: | mistalan |
Hi,
erstmal danke für deine Hilfe. Den IA habe ich auch mit n=1 und 2 emacht, war nur zu faul das noch hinzuschreiben ;)
Leider komme ich nicht auf den einfachen Weg, vielleicht kannst du mir nen Tipp geben ?
Gruß
Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Zaed |
Du hast folgende Aussage:
[mm] n^2 \ge 2n + 1 [/mm]
Stelle doch mal um, so dass du [mm] n^2 - 2n - 1 \ge 0 [/mm]
Jetzt machst du quadratische Ergänzung zu [mm] (n-1)^2 - 2 \ge 0 [/mm]
Also kannst du deine Ungleichung jetzt auch anders ausdrücken, so dass die Richtigkeit sofort ersichtlich ist :D Zumindest für alle n die größer als 4 sind
Das kannst du dann mit der strengen Monotonie von [mm] x^2 [/mm] auf [mm] (4, \infty) [/mm] begründen
mfG Zaed
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mo 30.10.2006 | | Autor: | mistalan |
Sorry, kann sein dass ich nach etlichen Stunden Mathe den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sehe, aber woher kommt die -2 bei der zweiten Gleichung?
edit: ok...habs jetzt verstanden. schulmathe is ja schon so lange her ;)
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