Vollst. Indukt. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Stefan04 |
| Aufgabe | | Falls p>=3 eine natürliche Zahl ist, so gilt: [mm] p^n [/mm] >n² für alle [mm] n\in \IN [/mm] |
Habe hier mit der Ind. angefangen.
[mm] p^{n}>n² [/mm] :A(n)
I.A. sei bewiesen für n=1
IV. : A(n) sei für ein [mm] n>n_{0}
[/mm]
IS. : [mm] (n\Rightarrow [/mm] n+1) :
z.Z. (n+1)² < [mm] p^{n+1}
[/mm]
Es gilt:
n² + 2n +1 < [mm] p^{n} [/mm] +2n +1
Nun zeige ich:
[mm] 2n+1
IA.: ...
IV.: [mm] 2n+1
IS.: zZ.: 2(n+1)+1 < [mm] p^{n+1}
[/mm]
Es gilt : 2(n+1)+1 = 2n+1+2 < [mm] 2^{n} [/mm] +2 < [mm] 2^{n} [/mm] + [mm] 2^{n} [/mm] = [mm] 2*2^{n} [/mm] = [mm] 2^{n+1}
[/mm]
SOmit gilt n² < [mm] p^{n} [/mm] nach voll. Ind.
Habe bei der Aufgabe mit nem n² die voll. INd. gemacht. Aber wie müsste die Aufgabe aussehen, wenn man beweisen will, dass:
[mm] p^{n} [/mm] > n²
dabei bin ich auf keine meiner Meinung nach richtigen Lösung gekommen
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
DAnke ung Gruß Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Walde |
hi Stefan,
nein, bei deiner Induktion sind noch ein paar Fehler drin:
> Falls p>=3 eine natürliche Zahl ist, so gilt: [mm]p^n[/mm] >n² für
> alle [mm]n\in \IN[/mm]
> Habe hier mit der Ind. angefangen.
>
> [mm]p^{n}>n²[/mm] :A(n)
>
> I.A. sei bewiesen für n=1
So kannst (solltest) du das nicht sagen. Du musst schon zeigen, dass es für n=1 gilt :
[mm] p^1=p>1=1^2
[/mm]
Auch wenn es trivial ist,das sollte da stehen. Zumindest solltest du schreiben: I.A. für n=1: klar. Aber in einer Klausur bist du dann schon auf die Gnade des Korrektors angewiesen. Wenn du es so hinschreibst wie ich, bist du auf der sicheren Seite.
> IV. : A(n) sei für ein [mm]n>n_{0}[/mm]
> IS. : [mm](n\Rightarrow[/mm] n+1) :
>
>
>
> z.Z. (n+1)² < [mm]p^{n+1}[/mm]
>
>
> Es gilt:
>
> n² + 2n +1 < [mm]p^{n}[/mm] +2n +1
So weit, so gut.
> Nun zeige ich:
>
> [mm]2n+1
> IA.: ...
Da haben wir nämlich den Salat, wenn man den Ind.Anfang nicht macht. Diese Behauptung ist für n=1 falsch:
[mm] 2*1+1=3\not<3=3^1
[/mm]
> IV.: [mm]2n+1
> IS.: zZ.: 2(n+1)+1 < [mm]p^{n+1}[/mm]
>
> Es gilt : 2(n+1)+1 = 2n+1+2 < [mm]2^{n}[/mm] +2 < [mm]2^{n}[/mm] + [mm]2^{n}[/mm] =
und hier geht es dann auch schief, denn [mm] 2n+1+2\not<2^n+2 [/mm] für n=1 und n=2
> [mm]2*2^{n}[/mm] = [mm]2^{n+1}[/mm]
Man kann deine Idee aber retten, indem man sich begnügt [mm] 2n+1\le p^{n} [/mm] zu zeigen und im Ind. Schritt folgendermassen
2(n+1)+1 = [mm] 2n+3<3^n+3\le3^n+3^n<3*3^n=3^{n+1}\le p^{n+1} [/mm] fortfährt.
>
> SOmit gilt n² < [mm]p^{n}[/mm] nach voll. Ind.
Das stimmt zwar, wäre mir aber ein bisschen schnell gefolgert.Schreibe es ruhig nochmal aus.Wir haben insgesamt(Ind.Schritt der urspünglichen Ind. plus das, was eben gezigt wurde):
[mm] n²+2n+1
>
> Habe bei der Aufgabe mit nem n² die voll. INd. gemacht.
> Aber wie müsste die Aufgabe aussehen, wenn man beweisen
> will, dass:
>
> [mm] p^{n}> [/mm] n²
Du hast gezeigt, dass [mm]n^2 < p^n[/mm] , das ist doch dasselbe wie [mm] p^n>n^2
[/mm]
nur andersrum aufgeschrieben. Du bist eigentlich fertig.
>
> dabei bin ich auf keine meiner Meinung nach richtigen
> Lösung gekommen
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
>
> DAnke ung Gruß Stefan
Oder ist noch was unklar?
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Stefan04 |
Ich wollte halt nur noch gerne wissen, wie man das umgekehrt macht. Hier mein Vorschlag:
[mm] p^{n} [/mm] > n² A(n):
IA. [mm] 3^1 [/mm] > 1² wahr
IV. [mm] p^{n} [/mm] > n²
IS: [mm] p^{n+1} [/mm] > (n+1)² gilt es zu beweisen
Es folgt nach IV:
[mm] p^{n+1}= p*p^{n} [/mm] > n²*p [mm] \ge [/mm] 3n² = n²+n²+n²>n²+n²+1> n²+2n+1
// Kann ich das so schreiben?
Somit ist per Induktionsschluss bewiesen:
[mm] p*p^{n} [/mm] > n²*p [mm] \ge [/mm] 3n² = n²+n²+n²>n²+n²+1> n²+2n+1=(n+1)²
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:24 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Walde |
hi nochmal,
> Ich wollte halt nur noch gerne wissen, wie man das
> umgekehrt macht. Hier mein Vorschlag:
>
> [mm]p^{n}[/mm] > n² A(n):
>
> IA. [mm]3^1[/mm] > 1² wahr
> IV. [mm]p^{n}[/mm] > n²
> IS: [mm]p^{n+1}[/mm] > (n+1)² gilt es zu beweisen
>
> Es folgt nach IV:
>
> [mm]p^{n+1}= p*p^{n}[/mm] > n²*p [mm]\ge[/mm] 3n² = n²+n²+n²>n²+n²+1>
> n²+2n+1
>
> // Kann ich das so schreiben?
>
Nee,nee,nee Stefan.Du musst nur mal für n=1 einsetzen und siehst, dass das nicht stimmt! Lies doch einfach die obigen (in der andern Post)Beweisschritte rückwärts, also von rechts nach links. Dann hast du's in umgekehrter Richtung da stehn.
L G walde
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