Vier Punkte in einer Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bin gerade mitten in meiner Abi-Vorbereitungsphase und versuche gerade folgende Aufgabenstellung zu lösen:
a.) Zeige, dass die vier Punkte A(1/5/8), B(9/1/4), C(5/7/2) und D(-3/11/6) in einer Ebene E1 liegen!
b.) Ermittle eine Parametergleichung der Ebene E1!
c.) Ermittle den Schnittpunkt der Geraden g durch B und D in der y-z-Ebene!
d.) Ermittle das Schnittgebilde zwischen E1 und der x-y-Ebene!
e.) Untersuche die gegenseitige Lage von E1 und E2: x=(4/1/7)+u(5/-3/8)+v(1/0/0)!
Da das ganze schon fast 1 1/2 Jahre her ist, als wir das im Unterricht behandelt haben, komme ich damit irgendwie überhaupt nicht zu recht und hoffe, dass mir irgendjemand helfen kann oder zumindest einen Ansatz geben kann.
zu a.) habe ich mir folgendes überlegt, was bestimmt falsch sein wird, da es zu einfach scheint :)
Vektor B - Vektor C + Vektor A = Vektor D ???
Vielen Dank schon mal im voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Stephi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Stephi
> Hallo,
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> ich bin gerade mitten in meiner Abi-Vorbereitungsphase und
> versuche gerade folgende Aufgabenstellung zu lösen:
>
> a.) Zeige, dass die vier Punkte A(1/5/8), B(9/1/4),
> C(5/7/2) und D(-3/11/6) in einer Ebene E1 liegen!
> b.) Ermittle eine Parametergleichung der Ebene E1!
> c.) Ermittle den Schnittpunkt der Geraden g durch B und D
> in der y-z-Ebene!
> d.) Ermittle das Schnittgebilde zwischen E1 und der
> x-y-Ebene!
> e.) Untersuche die gegenseitige Lage von E1 und E2:
> x=(4/1/7)+u(5/-3/8)+v(1/0/0)!
>
> Da das ganze schon fast 1 1/2 Jahre her ist, als wir das im
> Unterricht behandelt haben, komme ich damit irgendwie
> überhaupt nicht zu recht und hoffe, dass mir irgendjemand
> helfen kann oder zumindest einen Ansatz geben kann.
>
> zu a.) habe ich mir folgendes überlegt, was bestimmt falsch
> sein wird, da es zu einfach scheint :)
>
> Vektor B - Vektor C + Vektor A = Vektor D ???
Das verstehe ich nicht so ganz. Bezeichnest du mit den Vektoren A, B, C, D die Ortsvektoren?
Zunächst Teilaufg. a):
Du stellst zunächst eine Gleichung der Ebene auf, die die drei Punkte A, B, C enthält. Dazu brauchst du die Drei-Punkte-Form. Dann prüfst du, ob der Punkt D in der Ebene liegt. Dazu musst du prüfen, ob der Ortsvektor zu D die Ebenengleichung erfüllt. Versuch das erst einmal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich. Aber ich denke, ein Blick ins Buch hilft dir auch.
Die nächsten Teilaufgaben machen wir, wenn du a) geschafft hast.
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> Vielen Dank schon mal im voraus :)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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>
> Stephi
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Hallo,
erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Ich hab das Gleichungssystem gelöst und habe herausgefunden, dass die vier Punkte A, B, C und D in einer Ebene E1 liegen, d.h. der Ortsvektor zu D erfüllt die Ebenengleichung.
Was genau ist mit Aufg. b.) gemeint? Vielleicht E1= (1/5/8)+r(9/1/4)+s(5/7/2)?
Wäre nett, wenn du dich wieder melden würdest.
Vielen Dank noch mal :)
Gute Nacht,
Stephi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Do 24.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Stephi,
> Hallo,
>
> erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort!
>
> Ich hab das Gleichungssystem gelöst und habe
> herausgefunden, dass die vier Punkte A, B, C und D in einer
> Ebene E1 liegen, d.h. der Ortsvektor zu D erfüllt die
> Ebenengleichung.
Das Ergebnis ist richtig. Aber welche Ebenengleichung hast du benutzt? Es wäre gut, wenn du die Gleichung noch überprüfen lassen würdest. Es kann sein, dass dein Ergebnis nur zufällig richtig ist.
> Was genau ist mit Aufg. b.) gemeint? Vielleicht E1=
> (1/5/8)+r(9/1/4)+s(5/7/2)?
Leider nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Vektoren
[mm] \begin{pmatrix} 9 \\ 1\\ 4\end{pmatrix} [/mm] und [mm]\begin{pmatrix} 5 \\ 7\\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
sind doch Ortsvektoren, d.h. sie beginnen im Ursprung und enden beim jeweiligen Punkt, liegen also nicht in der Ebene. Du brauchst aber zwei linear unabhängige Richtungsvektoren. Dazu kannst du die Verbindungsvektoren
[mm] \vec{AB} [/mm] und [mm] \vec{AC} [/mm] nehmen.
Also
[mm] E_1: \vec x = \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} [/mm]
Mache dir unbedingt an Hand einer Zeichnung und mit Hilfe deines Buches klar, warum das so ist.
Gruß Sigrid
>
> Wäre nett, wenn du dich wieder melden würdest.
> Vielen Dank noch mal :)
>
> Gute Nacht,
>
> Stephi
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Hallo Sigrid,
> Das Ergebnis ist richtig. Aber welche Ebenengleichung hast
> du benutzt? Es wäre gut, wenn du die Gleichung noch
> überprüfen lassen würdest. Es kann sein, dass dein Ergebnis
> nur zufällig richtig ist.
Meine Ebenengleichung lautet:
E1= [mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 8}+r \vektor{9 \\ 1 \\4}+s \vektor{5 \\ 7 \\ 2}
[/mm]
Daraus habe ich ein Gleichungssystem erstellt:
[mm] \vmat{ 1 + 9r + 52 = x \\ 5 + r +7s = y \\ 8 + 4r + 2s = z }
[/mm]
Schließlich kam ich zu der Gleichung:
-13x + y + 29z = 224
Nun habe ich für x, y & z den [mm] \vec{d} [/mm] eingesetzt, d.h.
-13*-3 + 11 + 6*29 = 224
Diese Gleichung stimmt, und damit habe ich gezeigt, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen.
> Leider nein.
>
> Die Vektoren
> [mm]\begin{pmatrix} 9 \\ 1\\ 4\end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]\begin{pmatrix} 5 \\ 7\\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> sind doch Ortsvektoren, d.h. sie beginnen im Ursprung und
> enden beim jeweiligen Punkt, liegen also nicht in der
> Ebene. Du brauchst aber zwei linear unabhängige
> Richtungsvektoren. Dazu kannst du die Verbindungsvektoren
>
> [mm]\vec{AB}[/mm] und [mm]\vec{AC}[/mm] nehmen.
> Also
> [mm]E_1: \vec x = \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Mache dir unbedingt an Hand einer Zeichnung und mit Hilfe
> deines Buches klar, warum das so ist.
Also:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vec{c} [/mm] - [mm] \vec{a}
[/mm]
Also
> [mm]E_1: \vec x = \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}[/mm]
Wieso muss ich [mm] \vec{b} [/mm] am Anfang einsetzen?
Liegen Gruß,
Stephi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Do 24.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Stephi
> Hallo Sigrid,
>
> > Das Ergebnis ist richtig. Aber welche Ebenengleichung
> hast
> > du benutzt? Es wäre gut, wenn du die Gleichung noch
> > überprüfen lassen würdest. Es kann sein, dass dein
> Ergebnis
> > nur zufällig richtig ist.
>
> Meine Ebenengleichung lautet:
>
> E1= [mm]\vektor{1 \\ 5 \\ 8}+r \vektor{9 \\ 1 \\4}+s \vektor{5 \\ 7 \\ 2}
[/mm]
Das habe ich befürchtet. Du hast die Ortsvektoren als Richtungsvektoren benutzt.
Eine richtige Gleichung ist (siehe unten)
[mm] E_1: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> Daraus habe ich ein Gleichungssystem erstellt:
>
> [mm]\vmat{ 1 + 9r + 52 = x \\ 5 + r +7s = y \\ 8 + 4r + 2s = z }
[/mm]
>
>
> Schließlich kam ich zu der Gleichung:
>
> -13x + y + 29z = 224
Auf dieser Ebene liegen zwar die Punkte A und D, aber nicht B und C.
>
> Nun habe ich für x, y & z den [mm]\vec{d}[/mm] eingesetzt, d.h.
>
> -13*-3 + 11 + 6*29 = 224
>
> Diese Gleichung stimmt, und damit habe ich gezeigt, dass
> die vier Punkte in einer Ebene liegen.
>
> > Leider nein.
> >
> > Die Vektoren
> > [mm]\begin{pmatrix} 9 \\ 1\\ 4\end{pmatrix}[/mm] und
> > [mm]\begin{pmatrix} 5 \\ 7\\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> > sind doch Ortsvektoren, d.h. sie beginnen im Ursprung und
>
> > enden beim jeweiligen Punkt, liegen also nicht in der
> > Ebene. Du brauchst aber zwei linear unabhängige
> > Richtungsvektoren. Dazu kannst du die Verbindungsvektoren
>
> >
> > [mm]\vec{AB}[/mm] und [mm]\vec{AC}[/mm] nehmen.
> > Also
> > [mm]E_1: \vec x = \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> >
> > Mache dir unbedingt an Hand einer Zeichnung und mit Hilfe
>
> > deines Buches klar, warum das so ist.
>
> Also:
>
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm] - [mm]\vec{a}
[/mm]
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = [mm]\vec{c}[/mm] - [mm]\vec{a}
[/mm]
>
> Also
> > [mm]E_1: \vec x = \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Wieso muss ich [mm]\vec{b}[/mm] am Anfang einsetzen?
Musst du nicht, du kannst den Ortsvektor zu A, B oder C nehmen, also auch [mm]\vec{a}[/mm] oder [mm]\vec{c}[/mm]
Gruß Sigrid
>
> Liegen Gruß,
>
> Stephi
>
>
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Hallo,
ich versuche mich gerade an Aufgabenteil c.).
> c.) Ermittle den Schnittpunkt der Geraden g durch B und D
> in der y-z-Ebene!
E1: [mm] \vec{x}= \vektor{9 \\ 1 \\ 4}+r \vektor{8 \\ -4 \\ -4}+s \vektor{4 \\ 2 \\ -6}
[/mm]
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4}+t \vektor{-3 \\ 11 \\ 6}
[/mm]
Gleichungssystem:
[mm] \vmat{ 9+8r+4s=9-3t \\ 1-4r+2s=1+11t \\ 4-4r-6s=4+6t}
[/mm]
Nun weiß ich aber nicht, wie bzw. wonach ich das Gleichungssystem lösen soll. Ich würde es nach t auflösen, habe es auch versucht, aber ich bekomme kein richtiges Ergebnis heraus.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Danke im voraus,
Stephi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stephi!
> E1: [mm]\vec{x}= \vektor{9 \\ 1 \\ 4}+r \vektor{8 \\ -4 \\ -4}+s \vektor{4 \\ 2 \\ -6}[/mm]
Diese Ebenengleichung benötigen wir in dieser Aufgabe gar nicht (ich habe sie daher auch nicht weiter überprüft!).
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{9 \\ 1 \\ 4}+t \vektor{-3 \\ 11 \\ 6}[/mm]
Hier ist Dir der gleiche Fehler unterlaufen wie weiter oben, wo Du den Ortsvektor von D als Richtungsvektor der Geraden benutzt.
Die Geradengleichung für die Gerade duch die Punkte B und D ermittelt sich wie folgt:
[mm] $g_{BD} [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vec{b} [/mm] + t* [mm] \left(\vec{d} - \vec{b}\right)$
[/mm]
$g \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4} [/mm] + t * [mm] \left[\vektor{-3 \\ 11 \\ 6} - \vektor{9 \\ 1 \\ 4}\right]$
[/mm]
$g \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4} [/mm] + t * [mm] \vektor{-3-9 \\ 11-1 \\ 6-4}$
[/mm]
$g \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4} [/mm] + t * [mm] \vektor{-12 \\ 10 \\ 2}$
[/mm]
Nun suchen wir den Schnittpunkt der Geraden mit der xy-Ebene!
Diese xy-Ebene zeichnet sich ja nun dadurch aus, daß in ihr alle Punkte enthalten sind, deren z-Koordinate gleich Null ist.
Unser gesuchter Schnittpunkt hat also die Koordinaten:
[mm] $S_{xy} [/mm] \ [mm] \left( \ x_S \ | \ y_S \ | \ \red{0} \ \right)$
[/mm]
Damit ergibt sich folgende Gleichung (durch Gleichsetzen des Ortsvektors von [mm] $S_{xy}$ [/mm] mit der Geradengleichung):
[mm] $\vektor{x_S \\ y_S \\ \red{0} } [/mm] \ = \ [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4} [/mm] + t * [mm] \vektor{-12 \\ 10 \\ 2}$
[/mm]
Wenn Du hieraus nun Dein Gleichhungssystem bildest, kannst Du Dir zunächst den Parameter $t$ ermitteln und anschließend die beiden Koordinaten [mm] $x_S$ [/mm] und [mm] $y_S$.
[/mm]
Melde Dich doch nochmal mit Deinem Ergebnis ...
Gruß
Loddar
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Hallo,
meine Lösung lautet:
Der Schnittpunkt der Geraden g durch B und D in der y-x-Ebene lautet S (33;-19;0).
Vielen Dank für deine Mühe 
Stephi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> Der Schnittpunkt der Geraden g durch B und D in der
> y-x-Ebene lautet S (33;-19;0).
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das habe ich auch ermittelt ...
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
du hast geschrieben:
> Nun suchen wir den Schnittpunkt der Geraden mit der
> xy-Ebene!
> Diese xy-Ebene zeichnet sich ja nun dadurch aus, daß in
> ihr alle Punkte enthalten sind, deren z-Koordinate gleich
> Null ist.
Ich suche aber den Schnittpunkt der Geraden mit der y-z-Ebene und nicht mit der x-y-Ebene...
> Unser gesuchter Schnittpunkt hat also die Koordinaten:
>
> [mm]S_{xy} \left( \ x_S \ | \ y_S \ | \red{0} \ \right)[/mm]
>
Dann wären die Koordinaten doch:
[mm] S_{yz} \left( \red {0} \ | \ y_S \ | \ z_S \ \right)
[/mm]
>
> Damit ergibt sich folgende Gleichung (durch Gleichsetzen
> des Ortsvektors von [mm]S_{xy}[/mm] mit der Geradengleichung):
>
> [mm]\vektor{x_S \\ y_S \\ \red{0} } \ = \ \vektor{9 \\ 1 \\ 4} +t* \vektor{-12 \\ 10 \\ 2}[/mm]
>
Die Gleichung wäre damit auch falsch, sie müsste so lauten:
[mm] \vektor{0 \\ y_S \\ z_S } [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4}+t*\vektor{-12 \\ 10 \\ 2}
[/mm]
> Wenn Du hieraus nun Dein Gleichhungssystem bildest, kannst
> Du Dir zunächst den Parameter [mm]t[/mm] ermitteln und anschließend
> die beiden Koordinaten [mm]x_S[/mm] und [mm]y_S[/mm].
Dann habe ich ein neues Gleichungssystem aufgestellt und folgende Werte heraus:
t= [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] y_{S}=8,5
[/mm]
[mm] z_{S}=5,5
[/mm]
Ich habe also den Schnittpunkt der Geraden g durch B und D in der yz-Ebene, und zwar S (0 ; 8,5 ; 5,5).
Gruß,
Stephi
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Soooo,
nun hab ich mich an d.) versucht, aber das ist bestimmt mal wieder falsch.
Ich habe mir folgendes gedacht:
[mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4}+r \vektor{8 \\ -4 \\ -4}+s \vektor{4 \\ 2 \\ -6} [/mm] = [mm] \vektor{xS \\ yS \\ 0}
[/mm]
Das müsste aber falsch sein, da es im Gleichungssystem dann mehr Variablen als Gleichungen gibt.
Gibt es eine Art Parametergleichung für die x-y-Ebene? Die könnte ich dann ja mit [mm] E_{1} [/mm] gleichsetzen...
Stephi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stephi ...
> nun hab ich mich an d.) versucht, aber das ist bestimmt mal
> wieder falsch.
Na-na-na! Nicht so negativ ...
> Ich habe mir folgendes gedacht:
>
> [mm]\vektor{9 \\ 1 \\ 4}+r \vektor{8 \\ -4 \\ -4}+s \vektor{4 \\ 2 \\ -6}
= \vektor{x_S \\ y_S \\ 0}[/mm]
> Das müsste aber falsch sein, da es im Gleichungssystem dann
> mehr Variablen als Gleichungen gibt.
Warum denn?
Was für ein "Gebilde" ergibt sich denn, wenn man zwei (nicht parallele) Ebenen schneidet?
Eine Gerade !!
Und diese hat doch in der Parameter-Darstellung (wie der Name schon sagt) auch noch einen Parameter enthalten.
Du kannst also aus dem obigen (richtigen) Ansatz ein Gleichungssystem erstellen und aus der 3. Gleichung (z-Koordinate) dann nach $r$ oder $s$ umstellen.
Diesen Term für $r$ bzw. $s$ setzt Du dann in die Ebenengleichung
[mm] $E_1 [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4} [/mm] + r * [mm] \vektor{8 \\ -4 \\ -4} [/mm] + s * [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ -6}$
[/mm]
ein und fasst etwas zusammen.
Damit erhältst Du dann eine Geradengleichung in Parameterform: die Schnittgerade zwischen der Ebene [mm] $E_1$ [/mm] und der xy-Ebene [mm] $E_{xy}$.
[/mm]
Versuch' das doch mal und schreibe hier Dein Ergebnis ...
> Gibt es eine Art Parametergleichung für die x-y-Ebene? Die
> könnte ich dann ja mit [mm]E_{1}[/mm] gleichsetzen...
Klar gibt es die. Zum Beispiel:
[mm] $E_{xy} [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \kappa [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] \ = \ [mm] \kappa [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
Aber damit hast Du auch vier Unbekannte (die Parameter) mit nur drei Gleichungen. Aber die weitere Vorgensweise wäre dieselbe ...
Gruß
Loddar
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Hi,
also ich habe das Gleichungssystem nach r aufgelöst. [mm] r=-1\bruch{1}{2}.
[/mm]
Meine Schnittgerade lautet [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4}-s \vektor{-8 \\ 8 \\0}.
[/mm]
Hoffe, dass sie richtig ist.
Stephi
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Hallo,
ich hab mich total doof verrechnet, ich habe auch (nach Bemerken des Fehlers ) r=1-1,5s heraus.
> Da wir ja mit der xy-Ebene schneiden, muß auch für die
> Schnittgerade gelten: [mm]z \ = \ 0[/mm], d.h. in der
> Geradengleichung der Schnittgeraden muß bei allen
> z-Koordinaten eine 0 stehen!
Ich versteh, dass bei allen z-Koordinaten eine 0 stehen muss, aber ich verstehe nicht, wie das geschehen kann, wenn ich r in meine Geradengleichung einsetzen muss...
;(
Stephi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Stephi3103 |
> Hallo,
>
> ich hab mich total doof verrechnet, ich habe auch (nach
> Bemerken des Fehlers ) r=1-1,5s heraus.
>
> > Da wir ja mit der xy-Ebene schneiden, muß auch für die
> > Schnittgerade gelten: [mm]z \ = \ 0[/mm], d.h. in der
> > Geradengleichung der Schnittgeraden muß bei allen
> > z-Koordinaten eine 0 stehen!
>
> Ich versteh, dass bei allen z-Koordinaten eine 0 stehen
> muss, aber ich verstehe nicht, wie das geschehen kann, wenn
> ich r in meine Geradengleichung einsetzen muss...
Ich meine natürlich Ebenengleichung !!!
>
> ;(
> Stephi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Sophyyy,
> Hallo,
>
> ich hab mich total doof verrechnet, ich habe auch (nach
> Bemerken des Fehlers ) r=1-1,5s heraus.
>
> > Da wir ja mit der xy-Ebene schneiden, muß auch für die
> > Schnittgerade gelten: [mm]z \ = \ 0[/mm], d.h. in der
> > Geradengleichung der Schnittgeraden muß bei allen
> > z-Koordinaten eine 0 stehen!
>
> Ich versteh, dass bei allen z-Koordinaten eine 0 stehen
> muss, aber ich verstehe nicht, wie das geschehen kann, wenn
> ich r in meine Ebenengleichung einsetzen muss...
Keine Sorge, das kommt, wenn du richtig rechnest, immer hin. Schließlich hast du r ja unter der Bedingung, dass z=0, berechnet. Es ist desshalb, wie Loddar schon sagte eine schöne Rechenkontrolle. Wenn bei z irgendwo keine 0 steht, weißt du, dass du dich verrechnet hast.
Gruß Sigrid
> ;(
> Stephi
>
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Hallo,
ich weiß aber immer noch nicht genau, wie die Schnittgerade lautet.
Meine war ja falsch, aber ich komm auf keine andere.
Kann mir vielleicht jemad bitte die richtige sagen?
Vielen Dank im voraus
Stephi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stephi!
Wir haben doch ermittelt: $r \ = \ 1 - 1,5*s$
Dies' setzen wir nun in unsere Ebenengleichung ein:
[mm] $E_1 [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4} [/mm] + r * [mm] \vektor{8 \\ -4 \\ -4} [/mm] + s * [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ -6}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $g_{xy} [/mm] : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4} [/mm] + (1 - 1,5*s) * [mm] \vektor{8 \\ -4 \\ -4} [/mm] + s * [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ -6}$
[/mm]
[mm] $g_{xy} [/mm] : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4} [/mm] + 1 * [mm] \vektor{8 \\ -4 \\ -4} [/mm] - 1,5*s * [mm] \vektor{8 \\ -4 \\ -4} [/mm] + s * [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ -6}$
[/mm]
[mm] $g_{xy} [/mm] : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 4} [/mm] + [mm] \vektor{1*8 \\ 1*(-4) \\ 1*(-4)} [/mm] + s * [mm] \vektor{(-1,5)*8 \\ (-1,5)*(-4) \\ (-1,5)*(-4)} [/mm] + s * [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ -6}$
[/mm]
Schaffst Du es nun, noch weiter zusammenzufassen?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
meine Schnittgerade lautet [mm] g_{xy}: \vec{x}= \vektor{17 \\ -3 \\0}+s\vektor{16 \\ -4 \\ 0}.
[/mm]
Wenn ich die gegenseitige Lage von zwei Ebeben untersuchen soll, muss ich dann die beiden Ebenengleichungen gleich setzen und das dann mit einem Gleichungssystem lösen? Nach was muss ich auflösen und muss ich das dann noch irgednwo einsetzen, wie eben?
Man sieht, ich muss noch viel lernen .
Stephi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stephi!
> meine Schnittgerade lautet [mm]g_{xy}: \vec{x}= \vektor{17 \\ -3 \\0}+s\vektor{16 \\ -4 \\ 0}.[/mm]
Da mußt Du Dich irgendwo verrechnet haben ...
Ich erhalte: [mm] $g_{xy} [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{17 \\ -3 \\ 0}+s*\vektor{-8 \\ 8 \\ 0}$
[/mm]
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Stephi
> Hallo Loddar,
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> meine Schnittgerade lautet [mm]g_{xy}: \vec{x}= \vektor{17 \\ -3 \\0}+s\vektor{16 \\ -4 \\ 0}.[/mm]
>
> Wenn ich die gegenseitige Lage von zwei Ebeben untersuchen
> soll, muss ich dann die beiden Ebenengleichungen gleich
> setzen und das dann mit einem Gleichungssystem lösen? Nach
> was muss ich auflösen und muss ich das dann noch irgednwo
> einsetzen, wie eben?
Das ist eine Möglichkeit. Du bekommst dann allerdingd ein Gleichungssystem mit 4 Variablen. Einfacher ist es, wenn du die Ebenen in Normalenform hast. Sind die Normalenvektoren linear abhängig, dann sind die Ebenen auf jeden Fall schon mal parallel. Liegt dann ein Punkt der ersten Ebnen auch in der zweiten, dann sind die Ebnen sogar identisch. Sind die Normalenvektoren linear unabhängig, dann schneiden sich die Ebenen.
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> Man sieht, ich muss noch viel lernen .
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> Stephi
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!!!
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