Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Mi 12.01.2005 | | Autor: | xsjani |
Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe, d.h. ich hab absolut keinen Schimmer wie ich sie lösen soll.
Sei F eine Verteilungsfunktion mit F(x) = 0 für x [mm] \le [/mm] 0 und gedächtnislos, d.h. für das zugehörige Maß P gelte:
P [mm] (B_a_+_c) [/mm] = P [mm] (B_a) [/mm] * P [mm] (B_c) [/mm] (a, c > 0),
wobei [mm] B_a [/mm] := (a,+ [mm] \infty). [/mm] Es sei 0< F(1) < 1.
Dann ist F eine Exponentialfunktion.
Als Tip wurde mir gegeben: Betrachte: G: [mm] \IR \to \R [/mm] mit G(x):= 1-F(x)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Do 13.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Juliane!
Aus der angegebenen Bedingung folgt ja:
$1 - F(a+c) = (1 - F(a)) [mm] \cdot [/mm] (1 - F(c))$
für alle $a,c>0$,
also:
(*) $G(a+c) = G(a) [mm] \cdot [/mm] G(c)$
für alle $a,c>0$, sowie:
$G(0) = 1 - F(0) = 1$.
Die Lösung der Funktionalgleichung (*) mit Anfangswert $G(0)=1$ ist aber bekanntlich gegeben durch
$G(x) = [mm] e^{\lambda x}$ [/mm] für ein [mm] $\lambda \in \IR$.
[/mm]
Daraus folgt:
$F(x) = 1 - [mm] e^{\lambda x}$ [/mm] für alle $x>0$ und ein [mm] $\lambda \in \IR$.
[/mm]
Aus [mm] $\lim\limits_{x \to \infty} [/mm] F(x)=1$ kann man noch [mm] $\lambda<0$ [/mm] folgern.
Demnach ist $F$ die Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung.
Liebe Grüße
Julius
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