Verteilungsdichte/ -funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für c [mm] \in \IR [/mm] und a > 0 sei folgende Funktion gegeben:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
cx^2, & x \in [0,a] \\
0, & \mbox{sonst }
\end{matrix}\right.
[/mm]
a) Bestimmen Sie c so, dass durch f eine Verteilungsdichte definiert wird!
b) Geben Sie die Verteilungsfunktion zur Dichte aus a) an!
c) Bestimmen Sie für eine gemäß der Dichte aus a) verteilten Zufallsgröße dieWahrscheinlichkeit, dass diese einen Wert oberhalb von [mm] \bruch{a}{2} [/mm] annimmt! |
zu a)
Die Fläche unter der Dichtefunktion muss immer den Inhalt 1 besitzen
[mm] \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, [/mm] dx = 1
richtig? und was nützt mir das?
zu b)
Verteilungsfunktion F erhält man als Integral über die Dichtefunktion:
F(x) = [mm] \int_{-\infty}^{x} f(x)\, [/mm] dx
richtig?
zu c)
noch keine Idee
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> Für c [mm]\in \IR[/mm] und a > 0 sei folgende Funktion gegeben:
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
cx^2, & x \in [0,a] \\
0, & \mbox{sonst }
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie c so, dass durch f eine Verteilungsdichte
> definiert wird!
> b) Geben Sie die Verteilungsfunktion zur Dichte aus a)
> an!
> c) Bestimmen Sie für eine gemäß der Dichte aus a)
> verteilten Zufallsgröße dieWahrscheinlichkeit, dass diese
> einen Wert oberhalb von [mm]\bruch{a}{2}[/mm] annimmt!
> zu a)
>
> Die Fläche unter der Dichtefunktion muss immer den Inhalt 1
> besitzen
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,[/mm] dx = 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> richtig? und was nützt mir das?
Daraus kannst du c berechnen. Das Integral reduziert
sich doch wegen f(x)=0 für x<0 sowie für x>a auf
[mm]\int_{0}^{a} f(x)\,[/mm] dx = 1
> zu b)
>
> Verteilungsfunktion F erhält man als Integral über die
> Dichtefunktion:
> F(x) = [mm]\int_{-\infty}^{x} f(x)\,[/mm] dx
>
> richtig?
Ja; und auch bei diesem Integral kannst du als
Untergrenze 0 nehmen, da [mm] f(x)\not=0 [/mm] nur für die
x-Werte im Intervall [0;a] .
LG Al-Chw.
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