Verteilungs-und Dichtefunktion < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Vieta |
Hallo zusammen!
Also ich habe ein Problem mit der Verteilungs- und der Dichtefunktion. Ich weiss, dass der Graf der Verteilungsfunktion einer Gaussschen Glockenkurve entspricht und angibt, für welche Werte x die Wahrscheinlichkeit wie gross ist, dass sie angenommen werden. Auch weiss ich, dass die Verteilungsfunktion die Stammfunktion der Dichtefunktion ist.
Zur Dichtefunktion weiss ich, dass das Integral (also die Fläche unter dem Graf) der Wahrscheinlichkeit [mm] (p(a
Ich verstehe nun aber nicht, für was es die Verteilungs- und Dichtefunktion überhaupt braucht und vor allem nicht, in welcher Beziehung dass sie zueinander stehen (ausser eben Stammfunktion).
Auch verstehe ich nicht ganz wie das mt der Dichtefunktion genau funktioniert, wenn man eine diskrete durch eine kontinuierliche Zufallsvariable ersetzt (wann macht man das überhaupt?).
Fragen über Fragen also...Ich hoffe jemand kann mir dies etwas erläutern...
Mit lieben Grüssen
Vieta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Di 01.05.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Vieta,
viele der Begriffe hast Du schon richtig gebraucht, der Zusammenhang scheint aber noch etwas unklar zu sein. Der Begriff der Zufallsvariablen spielt hier eine wichtige verbindende Rolle, da man ja vorhat, ein Zufallsexperiment mathemetisch zu behandeln. Beim Durchführen eines Zufallsexperimentes tritt ein Ereignis auf, nämlich das Ergebnis dieses Experimentes, und dieses Ereignis bezeichne ich hier mal mit $ [mm] \zeta_i$. [/mm] Diesem Ereignis wird ein numerischer Wert $ [mm] X(\zeta_i) [/mm] $ zugeordnet, um das Ganze mathematisch handhabbar zu machen.
Die Verteilungsfunktion einer statistischen Größe gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit P dafür an, dass das Ergebnis des Zufallsexperimentes eines der Ereignisse ist, für die $ [mm] X(\zeta) \leq [/mm] x$ gilt, wobei x eine vorgegebene Schranke ist. Die Verteilungsfunktion ist also eine Funktion von x, deren Ergebnis aber auch von der gewählten Zuordnung zu X abhängt. Als eine Verteilungsfunktion hast Du die Gaussverteilung genannt, es gibt noch andere, wie beispielsweise die Gleichverteilung. Welche Art von Verteilung für welches Zufallsexperiment am besten passt, hängt von der Art des durchgeführten Experimentes ab und was man über dessen statistische Eigenschaften weiss oder zumindest vermutet.
Es gelten ein paar Regeln für solch eine Verteilungsfunktion, die recht nützlich sind. Definiere ich die Verteilungsfunktion$ [mm] F_X [/mm] (x)$ nach meiner oben angegebenen Beschreibung, so kann man schreiben:
$$ [mm] F_X [/mm] (x) [mm] \stackrel{\rm def}{=} P(X(\zeta) [/mm] < x) [mm] \, [/mm] . $$
Diese Funktion liefert immer Werte zwischen 0 und 1, für $ x = [mm] -\infty [/mm] $ kommt Null heraus und für $ x = [mm] \infty$ [/mm] der Wert 1. Außerdem gilt:
$$ [mm] F(x_1) \leq F(x_2) \, \rm{fuer}\, x_1 \leq x_2 \, [/mm] . $$
Nun kommen wir zur Dichtefunktion, die als Ableitung zur Verteilungsfunktion definiert ist, -Du hast ja bereits die Stammfunktion erwähnt-, und das Rechnen mit Zufallsgrößen erleichtert. Beide Darstellungen, die Dichtefunktion sowie die Verteilungsfunktion sind gleichwertig, da ihr Verhältnis zueinander über die Stammfunktion bzw. die Ableitung eindeutig beschrieben ist. Für die Dichtefunktion gilt
$$ p(x) = [mm] \bruch{{\rm d} F(x)}{{\rm d}x} [/mm] $$ und sie hat die Eigenschaft, dass ihre Werte immer größer oder gleich Null sind, da es keine negativen Wahrscheinlichkeiten gibt.
Als Beispiel hattest Du die Gausssche Glockenkurve genannt, dies ist eine Dichtefunktion, keine Verteilungsfunktion, wie Du schreibst. Man müsste also über diese Funktion integrieren, um zur Verteilungsfunktion zu kommen. Hier stellt sich nun raus, dass es keine Stammfunktion zur Glockenkurve gibt, die man analytisch darstellen kann. Man führt also numerische Integrationen durch oder, was einfacher ist, man liest die dazugehörigen Werte in Tabellen ab.
Ob eine Zufallsvariable diskret oder kontinuierlich ist, hängt von der Art des Zufallsexperimentes ab. Beim berühmten Beispiel des Werfens einer Münze wird man sicher eine diskrete Variable wählen, denn das Ereignis, das man betrachtet, leifert als Ergebnis "Wappen" oder "Zahl". Bei einem anderen Experiment, beispielsweise dem Drehen eines Zeigers auf einer Scheibe mit Gradeinteilung, wird man wohl eine kontinuierliche Zufallsvariable wählen, wenn es darum geht, den Winkel zu bestimmen, den der Zeiger mit der Null-Grad-Markierung einnimmt. Interessiert man sich nur dafür, in welchem Quadranten der Zeiger nach dem Drehen zum Stillstand kommt, so bietet sich für dieses Experiment wieder eine diskrete Zufallsvariable an.
Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen hilft zur Bestimmung der Verteilungsfunktion aus der Divhtefunktion die Integration weiter, bei einer diskreten Zufallsvariablen geht die Integration in eine Summation über.
Ich weiss, das war viel Stroff, aber hoffentlich hilft es Dir bei der Klärung der Gedanken weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Di 01.05.2007 | | Autor: | Vieta |
Erstmal riesiges Dankeschön! Ist zwar viel Stoff, aber dafür eine ausführliche Erläuterung (was auch Arbeit bedeutet).
Um sicher zu gehen, dass ich es wirklich verstanden habe gehe ich es nochmals durch:
Beim Durchführen eines Zufallsexperimentes tritt ein Ereignis auf, nämlich das Ergebnis dieses Experimentes, und dieses Ereignis bezeichne ich hier mal mit $ [mm] \zeta_i [/mm] $. Diesem Ereignis wird ein numerischer Wert $ [mm] X(\zeta_i) [/mm] $ zugeordnet, um das Ganze mathematisch handhabbar zu machen.
Bei einem Zufallsexperiment (mit gegebenem Stichprobenraum) ist das Ergebnis ein Ereignis (Element des Ereignisraumes). Die Zufallsvsariable ist nun eine Abbildung vom Stichprobenraum in R, also eine Funktion, welche jedem Ereignis eine reelle Zahl zuordnet. (Somit ist das Urbild eines Intervalls der Zufallsvariable ein Ereignis)
--> Zufallsvariable bspw. X (so schreiben wirs in der Schule)
Die Verteilungsfunktion einer statistischen Größe gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit P dafür an, dass das Ergebnis des Zufallsexperimentes eines der Ereignisse ist, für die $ [mm] X(\zeta) \leq [/mm] x $ gilt, wobei x eine vorgegebene Schranke ist. Die Verteilungsfunktion ist also eine Funktion von x, deren Ergebnis aber auch von der gewählten Zuordnung zu X abhängt.
Die Verteilungsfunkion gibt an, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner gleich x annimmt, wobei x eine beliebige reelle Zahl sein kann. x ist somit eine Schranke (da die Zufallsvariable X nicht grösser als x sein darf).
Als eine Verteilungsfunktion hast Du die Gaussverteilung genannt, es gibt noch andere, wie beispielsweise die Gleichverteilung. Welche Art von Verteilung für welches Zufallsexperiment am besten passt, hängt von der Art des durchgeführten Experimentes ab und was man über dessen statistische Eigenschaften weiss oder zumindest vermutet.
Wir haben in der Schule die Gleichverteilung(disk./kont.), Binomialverteilung(disk.), Poissonverteilung(disk.), Geometrische Verteilung(disk.) und die Normalverteilung(kont.) behandelt. Wir haben aber von Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsvariablen (bei diskreten Zufallsvariablen) und von Dichtefunktionen (bei kontinuierlichen Zufallsvariablen) gesprochen.
--> Kleine Frage: Worin liegt dann der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeitsverteilung und der Verteilungsfunktion?
Lediglich, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung für p(X=x) und die Verteilungsfunktion für [mm]p(X\le x)[/mm] gilt?
Was für eine Verteilung wir gewählt haben war Modellabhängig. Bspw. haben wir für das Modell des Laplaceexperiments die Gleichverteilung benutzt, oder für ein Bernoulliexperiment der Länge n mit Zufallsvariable X=Anzahl positiver Ausgänge des Einzelversuchs haben wir die Binomialverteilung benutzt.
Es gelten ein paar Regeln für solch eine Verteilungsfunktion, die recht nützlich sind. Definiere ich die Verteilungsfunktion$ [mm] F_X [/mm] (x) $ nach meiner oben angegebenen Beschreibung, so kann man schreiben:
$ [mm] F_X [/mm] (x) [mm] \stackrel{\rm def}{=} P(X(\zeta) [/mm] < x) [mm] \, [/mm] . $
Es gilt also F(x) = [mm]p(X\le x)[/mm]
Diese Funktion liefert immer Werte zwischen 0 und 1, für $ x = [mm] -\infty [/mm] $ kommt Null heraus und für $ x = [mm] \infty [/mm] $ der Wert 1. Außerdem gilt:
$ [mm] F(x_1) \leq F(x_2) \, \rm{fuer}\, x_1 \leq x_2 \, [/mm] . $
Die Verteilungsfunktion liefert Werte zwischen 0 und 1, da die Wahrscheinlichkeit nur Werte im Intervall [0;1] annehmen kann. Für $ x = [mm] -\infty [/mm] $, da unmögliches Ereignis und für $ x = [mm] \infty [/mm] $ sicheres Ereignis.
Auch ist die Verteilungsfunktion demnach streng monoton steigend.
$ p(x) = [mm] \bruch{{\rm d} F(x)}{{\rm d}x} [/mm] $
heisst das, dass die Wahrscheinlichkeit gleich der Ableitung der Verteilungsfunktion, also gleich der Dichtefunktion ist?
Eigenschaft, dass ihre Werte immer größer oder gleich Null sind, da es keine negativen Wahrscheinlichkeiten gibt.
Die Verteilungs- sowie die Dichtefunktion besitzen also die Wertemenge [0;1] ?
Als Beispiel hattest Du die Gausssche Glockenkurve genannt, dies ist eine Dichtefunktion, keine Verteilungsfunktion, wie Du schreibst. Man müsste also über diese Funktion integrieren, um zur Verteilungsfunktion zu kommen. Hier stellt sich nun raus, dass es keine Stammfunktion zur Glockenkurve gibt, die man analytisch darstellen kann. Man führt also numerische Integrationen durch oder, was einfacher ist, man liest die dazugehörigen Werte in Tabellen ab.
Die Normalverteilung ist ja eine Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen und sie besitzt keine elementare Stammfunktion. Wir haben in diesem Fall auch immer die Werte aus der Tabelle abgelesen.
Ob eine Zufallsvariable diskret oder kontinuierlich ist, hängt von der Art des Zufallsexperimentes ab. Beim berühmten Beispiel des Werfens einer Münze wird man sicher eine diskrete Variable wählen, denn das Ereignis, das man betrachtet, leifert als Ergebnis "Wappen" oder "Zahl". Bei einem anderen Experiment, beispielsweise dem Drehen eines Zeigers auf einer Scheibe mit Gradeinteilung, wird man wohl eine kontinuierliche Zufallsvariable wählen, wenn es darum geht, den Winkel zu bestimmen, den der Zeiger mit der Null-Grad-Markierung einnimmt. Interessiert man sich nur dafür, in welchem Quadranten der Zeiger nach dem Drehen zum Stillstand kommt, so bietet sich für dieses Experiment wieder eine diskrete Zufallsvariable an.
Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen hilft zur Bestimmung der Verteilungsfunktion aus der Divhtefunktion die Integration weiter, bei einer diskreten Zufallsvariablen geht die Integration in eine Summation über.
Die Wertemenge der Zufallsvariablen wird durch das Zufallsexperiment (bzw. den Stichprobenraum) bestimmt. Mit diskret ist rückabbildbar in Z und mit kontinuierlich rückabbildbar in R gemeint.
Bei der Integration einer Dichtefunktion einer diskren Zufallsvariablen enstpricht das Ergebnis einer Summation der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
Ich hoffe es begriffen zu haben...auf jeden Fall nochmals Besten Dank!
Mit lieben Grüssen
Vieta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Do 03.05.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Vieta,
Deine Kommentare sind okay und Du hast doch eine Menge begriffen, wie Du selbst ja wohl mitbekommen hast.
Die Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion kannst Du gerne so nutzen, wie von Dir beschrieben, die Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich nach Deiner Beschreibung dann nur für diskrete Zufallsvariablen sinnvoll einsetzen, aber das ist schon Okay so.
Viele Grüße,
Infinit
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