Verteilung von Summe ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] X_{1}, X_{2} N(\mu,\sigma^{2})-verteilt. [/mm] Berechne die explizite Form der Verteilung von [mm] X_{1}+X_{2}. [/mm] Berechne die ersten drei zentralen Momente. |
Guten Morgen,
wenn ich nach der Faltungsformel versuche, die Dichte der Summe zu berechnen, komme ich auf:
[mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}\exp(\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^{2}-\frac{1}{2}(\frac{z-t-\mu}{\sigma})^{2})}dt.
[/mm]
Gibt es einen "Trick", wie ich dieses Integral lösen kann oder komme ich durch Klammern ausmultiplizieren, Sachen vor das Integral schreiben, usw. ans Ziel? Bei mir kommt da nämlich nix vernünftiges raus..
Danke schon mal
lg Lykanthrop
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Do 21.06.2012 | | Autor: | Blech |
> $ [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}\exp(\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^{2}-\frac{1}{2}(\frac{z-t-\mu}{\sigma})^{2})}dt. [/mm] $
Da ist ein Vorzeichenfehler.
$ [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}\exp(-\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^{2}-\frac{1}{2}(\frac{z-t-\mu}{\sigma})^{2})}dt. [/mm] $
$= [mm] {\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\left((t-\mu)^{2}- (z-t-\mu)^{2}\right)\right)}dt. [/mm] $
> komme ich durch Klammern ausmultiplizieren, Sachen vor das Integral schreiben, usw. ans Ziel?
Ja.
Der einzige "Trick", wenn man das überhaupt so nennen kann, ist die quadratische Ergänzung.
ciao
Stefan
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Hiho,
> [mm]X_{1}, X_{2} N(\mu,\sigma^{2})-verteilt.[/mm] Berechne die
> explizite Form der Verteilung von [mm]X_{1}+X_{2}.[/mm] Berechne die
> ersten drei zentralen Momente.
Ist die Aufgabe wirklich so gestellt oder hast du die Hälfte weggelassen?
So ganz allgemein wirst du da nämlich auf Probleme kommen.
Wieso kannst du überhaupt die Faltungsformel anwenden? Bisher seh ich da keinen Grund, warum du das tun können solltest.
MFG,
Gono.
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