Verteilung bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Do 19.06.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Für alle [mm] \lambda [/mm] >0 sei
[mm] f_{\lambda}(x)= \bruch{1}{18} \I1_{[-2;4]} [/mm] (x) + [mm] \lambda e^{-\lambda x} \I1_{(4, \infty)} [/mm] (x) x [mm] \in [/mm] IR.
a) Bestimme Parameter [mm] \lambda_0 [/mm] für den [mm] f_{\lambda_0} [/mm] eine Dichte ist.
b) Es seien [mm] \lambda_0 [/mm] der Parameter aus a) und X eine Zufallsvariable mit Dichte [mm] f_{\lambda_0}. [/mm] Bestimme die Verteilung von [mm] Y=exp(X^2+1) [/mm] |
Hallo!!
Also Teil a) habe ich gelöst. Mein Ergebnis lautet [mm] \lambda_0 [/mm] = ln(3)/4.
Allerdings weiß ich nicht genau wie man das mathematisch korrekt aufschreibt. Ich habe zunächst das Integral [mm] \integral_{-2}^{4}{1/18 dx} [/mm] berechnet (= 1/3) und dann [mm] \limes_{z \rightarrow\infty} \integral_{4}^{z}{ \lambda e^{-\lambda x} dx} [/mm] berechnet und das Ergebnis gleich -1/3 gesetzt.
Für b) bräuchte ich eure Hilfe, wie geht man hier vor?
Danke!!
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Hallo,
dein [mm] \lambda [/mm] ist falsch. Das uneigentliche Integral muss gleich 2/3 sein!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Do 19.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Ja klar, stimmt.
Dann erhalte ich [mm] \lambda [/mm] = -ln(2/3)/4. Richtig?
Wie gehe ich dann vor, um die Verteilung zu bestimmen?
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Hiho,
oder in schön: [mm] $\bruch{1}{4}\ln\left(\bruch{3}{2}\right)$.
[/mm]
Das ist korrekt:
Zur b): Wie sieht denn die Verteilungsfunktion von X genau aus?
Also schreibe es mal in der Form:
[mm] F_X(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} \mbox{hier steht was} \\ \mbox{hier vielleicht auch} \\ \mbox{wie viele Fälle gibt es denn?}\end{cases}
[/mm]
Dann: Wie ist die Verteilungsfunktion denn überhaupt definiert? Dann stelle diese Definition nach X um und nutze die Verteilungsfunktion von X.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 19.06.2014 | | Autor: | rollroll |
>
> Zur b): Wie sieht denn die Verteilungsfunktion von X genau
> aus?
Hier scheitere ich wohl schon... Ich kriege es auch iwie nicht hin das mit dem Formeleditor hier richtig aufzuschreiben, deshalb mal so:
> Also schreibe es mal in der Form:
>
[mm] F_X(x)= [/mm] 1/18, wenn x [mm] \in [/mm] [-2;4]
[mm] \lambda e^{-\lambda x}, [/mm] wenn x [mm] \in [/mm] (4, [mm] \infty)
[/mm]
0, sonst
> Dann: Wie ist die Verteilungsfunktion denn überhaupt
> definiert? Dann stelle diese Definition nach X um und nutze
> die Verteilungsfunktion von X.
>
Die Definition ist:
Sei X: [mm] \Omega [/mm] --> IR eine reelle ZV. Dann heißt die durch [mm] F_x [/mm] (y)= [mm] P_x [/mm] [(- [mm] \infty,y]) [/mm] = P ({x [mm] \le [/mm] y}) definierte Funktion [mm] F_x [/mm] Verteilungsfunktion von X.
Was soll ich jetzt hier nach X umstellen?
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Hiho,
> Hier scheitere ich wohl schon... Ich kriege es auch iwie nicht hin das mit dem Formeleditor hier richtig aufzuschreiben, deshalb mal so:
Unten stehen Formeln, da kannst du draufklicken und siehst den entsprechenden Befehl.
Das bekommst auch du hin!
> [mm]F_X(x)=[/mm] 1/18, wenn x [mm]\in[/mm] [-2;4]
> [mm]\lambda e^{-\lambda x},[/mm] wenn x [mm]\in[/mm] (4, [mm]\infty)[/mm]
> 0, sonst
Nein! Das ist die Dichte. Wie ist denn die Verteilungsfunktion definiert zu einer gegebenen Dichte?
So etwas solltest du wissen.
> Die Definition ist:
> Sei X: [mm]\Omega[/mm] --> IR eine reelle ZV. Dann heißt die durch
> [mm]F_x[/mm] (y)= [mm]P_x[/mm] [(- [mm]\infty,y])[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= P ({x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
y}) definierte
> Funktion [mm]F_x[/mm] Verteilungsfunktion von X.
Ja, nun nehmen wir mal nicht schon y, denn später brauchen wir das ja noch und beachte bitte Groß- und Kleinbuchstaben, das spielt durchaus eine Rolle um Verwechslungen zu vermeiden. Zufallsvariablen werden im Allgemeinen mit Großbuchstaben bezeichnet, Werte, die sie annehmen können mit Kleinbuchstaben.
Also gilt: [mm] $F_X(c) [/mm] = [mm] \IP(X \le [/mm] c)$
Das ist Richtig.
Nun berechnen wir mal die Verteilungsfunktion von Y:
[mm] $F_Y(c) [/mm] = [mm] \IP(Y \le [/mm] c) = [mm] \ldots$
[/mm]
Setze die Definition von Y ein und stelle nach X um.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Do 19.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Ja, wenn man aber noch nie so etwas bestimmt hat, ist die Definition immer recht abstrakt.
Liege ich richtig, dass ich
[mm] \integral_{4}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] -e^{- \lambda x}+e^{-4 \lambda}= -(16/81)^x+2/3
[/mm]
bestimmen muss?
Und für x<-2 müsste doch auch die Verteilungsfunktion 0 sein, weil ja schon die Dichte 0 ist.
Dann bliebe noch der Bereich von -2 bis 4.
Aber das müsste dann doch einfach 1/3 sein, oder?
Aber wie schreibe ich das korrekt auf?
[mm] F_Y(c) [/mm] = [mm] \IP(Y \le [/mm] c) = P( [mm] exp(X^2+1) \le [/mm] c) = P( X [mm] \le \wurzel{lnc-1} [/mm] oder X [mm] \ge [/mm] - [mm] \wurzel{lnc-1})
[/mm]
Ist bekannt dass das c größer 0 ist, sonst kann man ja nicht ln benutzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Fr 20.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Wie erhalte ich daraus dann die gesuchte verteilung?
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Hiho,
> Ja, wenn man aber noch nie so etwas bestimmt hat, ist die Definition immer recht abstrakt.
>
> Liege ich richtig, dass ich
>
> [mm]\integral_{4}^{x}{f(t) dt}[/mm] = [mm]-e^{- \lambda x}+e^{-4 \lambda}= -(16/81)^x+2/3[/mm]
>
> bestimmen muss?
Jein. Das ist nur ein Teil deiner Verteilungsfunktion.
Schreiben wir die abstrakte Definition mal korrekt hin:
$F(x) = [mm] \integral_{-\infty}^x [/mm] f(x) dx$ wenn f(x) die Dichtefunktion ist.
In deinem Fall ist $f(x) = [mm] \bruch{1}{18}*1_{[-2,4]} [/mm] + [mm] \lambda\exp{-\lambda x}1_{[4,\infty)}$
[/mm]
Und damit gilt mit dem von dir festgestellten
> Und für x<-2 müsste doch auch die Verteilungsfunktion 0 sein, weil ja schon die Dichte 0 ist.
schonmal:
$F(x) = [mm] \begin{cases} 0, x< -2 \\ \integral_{-2}^x \bruch{1}{18}*1_{[-2,4]} + \lambda\exp{-\lambda x}1_{[4,\infty)} dx, x \ge -2 \end{cases}$
[/mm]
Nun kannst du in deinem Integrator 2 Fälle ablesen:
$x [mm] \in [/mm] [-2,4]$
$x [mm] \in [4,\infty)$
[/mm]
Aber beachte dabei, dass du im zweiten Fall natürlich auch die x mit Integrierst, die im Intervall [-2,4] liegen!
So, und nun versuche das nochmal sauber aufzuschreiben.
> [mm]F_Y(c)[/mm] = [mm]\IP(Y \le[/mm] c) = P( [mm]exp(X^2+1) \le[/mm] c) = P( X [mm]\le \wurzel{lnc-1}[/mm] oder X [mm]\ge[/mm] - [mm]\wurzel{lnc-1})[/mm]
Da hast du im letzten Schritt einen Fehler gemacht. Es darf nicht "oder" heißen!
Wann ist ein Quadrat kleinergleich einem bestimmten Wert?
Du bekommst als Lösung ein Intervall heraus und wie Berechnet sich im Falle eines Intervalls der Wert von $P(X [mm] \in [/mm] [a,b])$ wenn die Verteilungsfunktion von X bekannt ist?
> Ist bekannt dass das c größer 0 ist, sonst kann man ja nicht ln benutzen?
Gut erkannt! Das c muss sogar größer als e sein, weil sonst die Diskriminante negativ werden würde.
Das gilt aber, warum?
Du möchtest ja die Verteilungsfunktion von Y betrachten, also $P(Y [mm] \le [/mm] c)$.
Die ist für Werte kleiner des Wertebereichs aber sowieso Null, so dass wir hier c aus dem Wertebereich von Y wählen können. Was ist also der Wertebereich von Y?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Fr 20.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Also ich versuchs nochmal:
Sei [mm] \lambda_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}ln \bruch{3}{2} [/mm] und X ZV mit Dichte
[mm] f_{\lambda_0} [/mm] = 1/18 [mm] \I1_{[-2;4]} [/mm] (x) + [mm] \lambda_0 [/mm] exp [mm] (-\lambda_0 [/mm] x) [mm] \I1_{[4; \infty]} [/mm] (x).
Gesucht ist die Verteilung von [mm] Y=exp(X^2+1).
[/mm]
Bestimme zunächst die Verteilung von X.
Allgemein:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}, [/mm] d.h.
[mm] \integral_{-2}^{4}{f(x) dx} [/mm] =1/3
[mm] \integral_{4}^{t}{f(x) dx} [/mm] = [mm] -(16/81)^t [/mm] +2/3
Damit ist [mm] F_X(x)= [/mm] 0, wenn x<-2
1/3 , wenn -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4
[mm] -(16/81)^x [/mm] +2/3, wenn x >4
[mm] F_Y(y) [/mm] = P [mm] (exp(X^2+1) \le [/mm] y) = P(- [mm] \wurzel{lny-1} \le [/mm] X [mm] \le \wurzel{lny-1}) [/mm]
Ist die Verteilung von X durch die Dichte f gegeben, so erhält man mit der Substitution
z= [mm] \wurzel{lny-1}
[/mm]
[mm] F_Y(y)= \integral_{- \wurzel{lny-1}}^{ \wurzel{lny-1}}{f(x) dx} [/mm] =2 * [mm] \integral_{0}^{y}{f(\wurzel{lnz-1} * \bruch{1}{2z\wurzel{lnz-1}}) dz}
[/mm]
Also hat Y die Verteilung von Y die Dichte
[mm] g(y)=f(\wurzel{lny-1}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{2y\wurzel{lny-1}}
[/mm]
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Hiho,
> Allgemein:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx},[/mm] d.h.
>
> [mm]\integral_{-2}^{4}{f(x) dx}[/mm] =1/3
> [mm]\integral_{4}^{t}{f(x) dx}[/mm] = [mm]-(16/81)^t[/mm] +2/3
Ja, soweit stimmt das alles, aber du hast noch einen Denkfehler.
Was ist denn, wenn t bspw. 3 ist.
Wie sieht denn dann deine Verteilung aus?
Es ist doch: $F(x) = [mm] \integral_{-2}^x [/mm] f(t) dt$. D.h. wenn x=3 ist berechnet du doch gar nicht das komplette Integral von -2 bis 4, wie kannst du denn dann sagen, dass $F(3) = [mm] \bruch{1}{3}$ [/mm] sein soll?
Verstehst du den Einwand und wie kannst du es beheben?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Fr 20.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Indem ich die obere Grenze als z setzte und dann 1/18 z + 1/9 erhalte?
Wie schreibe ich dies dann korrekt auf?
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Hiho,
> Indem ich die obere Grenze als z setzte und dann 1/18 z + 1/9 erhalte?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie schreibe ich dies dann korrekt auf?
Genau so, wie du es zu beginn getan hast.
Du machst eine Fallunterscheidung für die 4 Fälle und erhälst für jeden eine eigene Funktion.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Fr 20.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Ok. Danke!
dann nochmal zur Verteilung von Y. Dazu hatte ich ja auch schon etwas geschrieben. Was meinst du dazu?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Sa 21.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Gerade was die integrale angeht bin och mir nicht sicher. ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 So 22.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Hat niemand eine Idee? Wäre wirklich sehr froh. ..
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Hiho,
du sollst ja die Verteilung von Y angeben. Dazu musst du keine Dichte bestimmen. Du hattest doch alles schon hingeschrieben, drücke das also einfach mit Hilfe von [mm] F_X [/mm] aus, was du schon hergeleitet hattest.
Gruß,
Gono.
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